Matemática discreta Exemplos

$\sqrt{4 y + 20} - v y - 4 = 6$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $\sqrt{4 y + 20}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $v y$ aos dois lados da equação.

$\sqrt{4 y + 20} - 4 = 6 + v y$

Etapa 1.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$\sqrt{4 y + 20} = 6 + v y + 4$

Etapa 1.3

Some $6$ e $4$ .

$\sqrt{4 y + 20} = v y + 10$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{4 y + 20}}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 y + 20}$ como ${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(4 y + 20)}^{1} = {(v y + 10)}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$4 y + 20 = {(v y + 10)}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique ${(v y + 10)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva ${(v y + 10)}^{2}$ como $(v y + 10) (v y + 10)$ .

$4 y + 20 = (v y + 10) (v y + 10)$

Etapa 3.3.1.2

Expanda $(v y + 10) (v y + 10)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 20 = v y (v y + 10) + 10 (v y + 10)$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y + 10)$

Etapa 3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.1

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.1.1

Mova $v$ .

$4 y + 20 = v \cdot v y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Etapa 3.3.1.3.1.1.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$4 y + 20 = v^{2} y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.2.1

Mova $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} (y \cdot y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Etapa 3.3.1.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Mova $10$ para a esquerda de $v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 \cdot (v y) + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Etapa 3.3.1.3.1.4

Multiplique $10$ por $10$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 v y + 10 v y + 100$

Etapa 3.3.1.3.2

Some $10 v y$ e $10 v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 20 v y + 100$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 = 4 y + 20$

Etapa 4.2

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y = 20$

Etapa 4.3

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y - 20 = 0$

Etapa 4.3.2

Subtraia $20$ de $100$ .

$v^{2} y^{2} + 20 v y - 4 y + 80 = 0$

Etapa 4.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.5

Substitua os valores $a = v^{2}$ , $b = 20 v - 4$ e $c = 80$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- (20 v - 4) \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (20 v) + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5

Deixe $u = v^{2} \cdot 80$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $v^{2} \cdot 80$ .

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Etapa 4.6.5.1

Reescreva ${(20 v - 4)}^{2}$ como $(20 v - 4) (20 v - 4)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{(20 v - 4) (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5.2

Expanda $(20 v - 4) (20 v - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.6.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v - 4) - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.6.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.6.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v \cdot v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5.3.1.2

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

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Etapa 4.6.5.3.1.2.1

Mova $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (v \cdot v)) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5.3.1.2.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v^{2}) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5.3.1.3

Multiplique $20$ por $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5.3.1.4

Multiplique $- 4$ por $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5.3.1.5

Multiplique $20$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5.3.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.5.3.2

Subtraia $80 v$ de $- 80 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.6

Fatore $4$ de $400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u$ .

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Etapa 4.6.6.1

Fatore $4$ de $400 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.6.2

Fatore $4$ de $- 160 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.6.3

Fatore $4$ de $16$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) - 4 u}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.6.4

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.6.5

Fatore $4$ de $4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.6.6

Fatore $4$ de $4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.6.7

Fatore $4$ de $4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - u)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v^{2} \cdot 80$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (v^{2} \cdot 80))}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.8

Simplifique.

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Etapa 4.6.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.6.8.1.1

Mova $80$ para a esquerda de $v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (80 \cdot v^{2}))}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.8.1.2

Multiplique $80$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - 80 v^{2})}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.8.2

Subtraia $80 v^{2}$ de $100 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (20 v^{2} - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.9

Fatore $4$ de $20 v^{2} - 40 v + 4$ .

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Etapa 4.6.9.1

Fatore $4$ de $20 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.9.2

Fatore $4$ de $- 40 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.9.3

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.9.4

Fatore $4$ de $4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.9.5

Fatore $4$ de $4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.10

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{16 (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.11

Reescreva $16 (5 v^{2} - 10 v + 1)$ como ${(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)$ .

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Etapa 4.6.11.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.11.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 2^{2} \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.6.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 4 \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Etapa 4.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$