Matemática discreta Exemplos

$\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$

Etapa 1

Resolva $\sqrt{2 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $6$ e $7$ .

$\sqrt{2 y} + 13 = y + 6$

Etapa 1.2

Mova todos os termos que não contêm $\sqrt{2 y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.2.1

Subtraia $13$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{2 y} = y + 6 - 13$

Etapa 1.2.2

Subtraia $13$ de $6$ .

$\sqrt{2 y} = y - 7$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{2 y}}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 y}$ como ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 y)}^{1} = {(y - 7)}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$2 y = {(y - 7)}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique ${(y - 7)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva ${(y - 7)}^{2}$ como $(y - 7) (y - 7)$ .

$2 y = (y - 7) (y - 7)$

Etapa 3.3.1.2

Expanda $(y - 7) (y - 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y = y (y - 7) - 7 (y - 7)$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7)$

Etapa 3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 y = y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Mova $- 7$ para a esquerda de $y$ .

$2 y = y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Multiplique $- 7$ por $- 7$ .

$2 y = y^{2} - 7 y - 7 y + 49$

Etapa 3.3.1.3.2

Subtraia $7 y$ de $- 7 y$ .

$2 y = y^{2} - 14 y + 49$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$y^{2} - 14 y + 49 = 2 y$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 14 y + 49 - 2 y = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2 y$ de $- 14 y$ .

$y^{2} - 16 y + 49 = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 16$ e $c = 49$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Eleve $- 16$ à potência de $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $49$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 196}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3

Subtraia $196$ de $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.4

Reescreva $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Etapa 4.5.1.4.1

Fatore $4$ de $60$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Etapa 4.5.3

Simplifique $\frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{15}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 8 + \sqrt{15}, 8 - \sqrt{15}$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$ verdadeira.

$y = 8 + \sqrt{15}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = 8 + \sqrt{15}$

Forma decimal:

$y = 11.87298334 \dots$