Matemática discreta Exemplos

$\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y + 2, y - 4, y + 6$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.5

O fator de $y + 2$ é o próprio $y + 2$ .

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.6

O fator de $y - 4$ é o próprio $y - 4$ .

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O fator de $y + 6$ é o próprio $y + 6$ .

$(y + 6) = y + 6$

$(y + 6)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.8

O MMC de $y + 2, y - 4, y + 6$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(y + 2) (y - 4) (y + 6)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ por $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ por $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $y + 2$ de $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$4 ((y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.2

Expanda $(y - 4) (y + 6)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (y (y + 6) - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$4 (y^{2} + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.3.1.2

Mova $6$ para a esquerda de $y$ .

$4 (y^{2} + 6 \cdot y - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$4 (y^{2} + 6 y - 4 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.3.2

Subtraia $4 y$ de $6 y$ .

$4 (y^{2} + 2 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} + 4 (2 y) + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 y^{2} + 8 y + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.5.2

Multiplique $4$ por $- 24$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.6

Cancele o fator comum de $y - 4$ .

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Etapa 2.2.1.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{y - 4}$ para o numerador.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.6.2

Fatore $y - 4$ de $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 ((y + 2) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.7

Expanda $(y + 2) (y + 6)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y (y + 6) + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.8.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.8.1.2

Mova $6$ para a esquerda de $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.8.1.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 y + 2 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.8.2

Some $6 y$ e $2 y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 8 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 2 (8 y) - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.10

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.10.1

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.1.10.2

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.2.1

Subtraia $2 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$2 y^{2} + 8 y - 96 - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $16 y$ de $8 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 96 - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.2.2.3

Subtraia $24$ de $- 96$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $y + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Fatore $y + 6$ de $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 ((y + 2) (y - 4))$

Etapa 2.3.2

Expanda $(y + 2) (y - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y (y - 4) + 2 (y - 4))$

Etapa 2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 (y - 4))$

Etapa 2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Etapa 2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Etapa 2.3.3.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Etapa 2.3.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 y + 2 y - 8)$

Etapa 2.3.3.2

Some $- 4 y$ e $2 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 2 y - 8)$

Etapa 2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} + 6 (- 2 y) + 6 \cdot - 8$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y + 6 \cdot - 8$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $6$ por $- 8$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y - 48$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Subtraia $6 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} = - 12 y - 48$

Etapa 3.1.2

Some $12 y$ aos dois lados da equação.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} + 12 y = - 48$

Etapa 3.1.3

Subtraia $6 y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} - 8 y - 120 + 12 y = - 48$

Etapa 3.1.4

Some $- 8 y$ e $12 y$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 = - 48$

Etapa 3.2

Some $48$ aos dois lados da equação.

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 + 48 = 0$

Etapa 3.3

Some $- 120$ e $48$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $- 4$ de $- 4 y^{2} + 4 y - 72$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $- 4$ de $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Etapa 3.4.2

Fatore $- 4$ de $4 y$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 72 = 0$

Etapa 3.4.3

Fatore $- 4$ de $- 72$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 4 \cdot 18 = 0$

Etapa 3.4.4

Fatore $- 4$ de $- 4 (y^{2}) - 4 (- y)$ .

$- 4 (y^{2} - y) - 4 \cdot 18 = 0$

Etapa 3.4.5

Fatore $- 4$ de $- 4 (y^{2} - y) - 4 (18)$ .

$- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y^{2} - y + 18$ por $1$ .

$y^{2} - y + 18 = \frac{0}{- 4}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida $0$ por $- 4$ .

$y^{2} - y + 18 = 0$

Etapa 3.6

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.7

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 18$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $18$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.3

Subtraia $72$ de $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.4

Reescreva $- 71$ como $- 1 (71)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (71)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2}$

Etapa 3.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{1 + i \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{2}$