Matemática discreta Exemplos

$\frac{4}{y^{2} - 7 y + 10} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y - 16}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $y^{2} - 7 y + 10$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 5, - 2$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y - 16}$

Etapa 1.2

Fatore $8$ de $8 y - 16$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $8$ de $8 y$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y) - 16}$

Etapa 1.2.2

Fatore $8$ de $- 16$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y + 8 \cdot - 2}$

Etapa 1.2.3

Fatore $8$ de $8 y + 8 \cdot - 2$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(y - 5) (y - 2), y - 5, 8 (y - 2)$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

Os fatores primos de $8$ são $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 2.4.1

$8$ tem fatores de $2$ e $4$ .

$2 \cdot 4$

Etapa 2.4.2

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 2.5

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2$

Etapa 2.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$8$

Etapa 2.6

O fator de $y - 5$ é o próprio $y - 5$ .

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $y - 2$ é o próprio $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $y - 5$ é o próprio $y - 5$ .

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O fator de $y - 2$ é o próprio $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.10

O MMC de $y - 5, y - 2, y - 5, y - 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(y - 5) (y - 2)$

Etapa 2.11

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$8 (y - 5) (y - 2)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$ por $8 (y - 5) (y - 2)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$ por $8 (y - 5) (y - 2)$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 \frac{4}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $8 \frac{4}{(y - 5) (y - 2)}$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Combine $8$ e $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)}$ .

$\frac{8 \cdot 4}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$\frac{32}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum de $(y - 5) (y - 2)$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{32}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$32 - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.1.4

Cancele o fator comum de $y - 5$ .

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Etapa 3.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y - 5}$ para o numerador.

$32 + \frac{- 1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.1.4.2

Fatore $y - 5$ de $8 (y - 5) (y - 2)$ .

$32 + \frac{- 1}{y - 5} ((y - 5) (8 (y - 2))) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$32 + \frac{- 1}{y - 5} ((y - 5) (8 (y - 2))) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$32 - (8 (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$32 - 8 (y - 2) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$32 - 8 y - 8 \cdot - 2 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$32 - 8 y + 16 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.2.2

Some $32$ e $16$ .

$- 8 y + 48 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 8 y + 48 = 8 \frac{1}{8 (y - 2)} ((y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$- 8 y + 48 = 8 \frac{1}{8 (y - 2)} ((y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 5) (y - 2))$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $y - 2$ de $(y - 5) (y - 2)$ .

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (y - 5))$

Etapa 3.3.3.2

Cancele o fator comum.

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (y - 5))$

Etapa 3.3.3.3

Reescreva a expressão.

$- 8 y + 48 = y - 5$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$- 8 y + 48 - y = - 5$

Etapa 4.1.2

Subtraia $y$ de $- 8 y$ .

$- 9 y + 48 = - 5$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $48$ dos dois lados da equação.

$- 9 y = - 5 - 48$

Etapa 4.2.2

Subtraia $48$ de $- 5$ .

$- 9 y = - 53$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $- 9 y = - 53$ por $- 9$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $- 9 y = - 53$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 53}{- 9}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 9$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 53}{- 9}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 53}{- 9}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{53}{9}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = \frac{53}{9}$

Forma decimal:

$y = 5.\overline{8}$

Forma de número misto:

$y = 5 \frac{8}{9}$