Matemática discreta Exemplos

$2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$

Etapa 1

Encontre um divisor comum $y^{\frac{2}{5}}$ que esteja presente em cada termo.

$2 {(y^{\frac{2}{5}})}^{6} - 17 {(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{7}{2}} + 35 y^{\frac{2}{5}}$

Etapa 2

Substitua $u$ por $y^{\frac{2}{5}}$ .

$2 {(u)}^{6} - 17 {(u)}^{\frac{7}{2}} + 35 (u) = 0$

Etapa 3

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $u$ de $2 u^{6} - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Fatore $u$ de $2 u^{6}$ .

$u (2 u^{5}) - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u = 0$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $u$ de $- 17 u^{\frac{7}{2}}$ .

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + 35 u = 0$

Etapa 3.1.1.3

Fatore $u$ de $35 u$ .

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Etapa 3.1.1.4

Fatore $u$ de $u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}})$ .

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Etapa 3.1.1.5

Fatore $u$ de $u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35$ .

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Etapa 3.1.2

Reescreva $u^{5}$ como ${(u^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

$u (2 {(u^{\frac{5}{2}})}^{2} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Etapa 3.1.3

Deixe $u = u^{\frac{5}{2}}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $u^{\frac{5}{2}}$ .

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Etapa 3.1.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 35 = 70$ e cuja soma é $b = - 17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1.1

Fatore $- 17$ de $- 17 u$ .

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Etapa 3.1.4.1.2

Reescreva $- 17$ como $- 7$ mais $- 10$

$u (2 u^{2} + (- 7 - 10) u + 35) = 0$

Etapa 3.1.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$u (2 u^{2} - 7 u - 10 u + 35) = 0$

Etapa 3.1.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$u ((2 u^{2} - 7 u) - 10 u + 35) = 0$

Etapa 3.1.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (u (2 u - 7) - 5 (2 u - 7)) = 0$

Etapa 3.1.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 7$ .

$u ((2 u - 7) (u - 5)) = 0$

Etapa 3.1.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $u^{\frac{5}{2}}$ .

$u ((2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5)) = 0$

Etapa 3.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u = 0$

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Etapa 3.3

Defina $u$ como igual a $0$ .

$u = 0$

Etapa 3.4

Defina $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ como igual a $0$ .

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$2 u^{\frac{5}{2}} = 7$

Etapa 3.4.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{2}{5}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique ${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 u^{\frac{5}{2}}$ .

$2^{\frac{2}{5}} {(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2^{\frac{2}{5}} u^{1} = 7^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.3

Simplifique.

$2^{\frac{2}{5}} u = 7^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.4

Reordene os fatores em $2^{\frac{2}{5}} u$ .

$u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.4.2.4

Divida cada termo em $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ por $2^{\frac{2}{5}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.4.1

Divida cada termo em $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ por $2^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 3.4.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 3.4.2.4.2.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 3.5

Defina $u^{\frac{5}{2}} - 5$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $u^{\frac{5}{2}} - 5$ como igual a $0$ .

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$u^{\frac{5}{2}} = 5$

Etapa 3.5.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{2}{5}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Simplifique ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$u^{1} = 5^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Simplifique.

$u = 5^{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$ verdadeiro.

$u = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $u$ .

$y^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Etapa 5

Resolva $y^{\frac{2}{5}} = 0$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{5}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.2.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.2.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique.

$y = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$y = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm 0^{5}$

Etapa 5.2.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = \pm 0$

Etapa 5.2.2.1.4

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$y = 0$

Etapa 6

Resolva $y^{\frac{2}{5}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{5}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 6.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 6.2.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 6.2.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Simplifique.

$y = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique $\pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ .

$y = \pm \frac{{(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{7^{1}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{7}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Etapa 6.2.2.1.3.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Etapa 6.2.2.1.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{7}{2^{1}}$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{7}{2}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{7}{2}$

Etapa 6.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{7}{2}$

Etapa 6.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}$

Etapa 7

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$y = 5$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$y = 0, \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}, 5$

Etapa 9

Exclua as soluções que não tornam $2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$ verdadeira.

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Forma decimal:

$y = 0, 3.5, 5$

Forma de número misto:

$y = 0, 3 \frac{1}{2}, 5$