Matemática discreta Exemplos

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x - 15} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2} - 2 x - 15} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 2 x - 15} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 2

Fatore $x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 5, 3$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 4

Fatore $x^{2} + 2 x - 15$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $2$ .

$- 3, 5$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $x - 3$ de $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Etapa 5.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 3}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 5}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x - 5$ de $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{x + 3}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x + 3}{(x - 5) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 3}{x + 3} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

Etapa 5.3

Multiplique $\frac{x + 3}{x + 3}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 5}{x + 5}$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 5.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + 5}{x + 5}$

Etapa 5.5.2

Reescreva a expressão.

$1$