Matemática discreta Exemplos

$\frac{e^{4 t} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva $e^{4 t}$ como ${(e^{2 t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $e^{2 t}$ como ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.1.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 e^{3 t} = 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t}$

Etapa 1.1.4

Reescreva o polinômio.

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.1.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = e^{2 t}$ e $b = e^{t}$ .

$\frac{{(e^{2 t} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.2

Reescreva $e^{2 t}$ como ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{({(e^{t})}^{2} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.3

Deixe $u = e^{t}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{t}$ .

$\frac{{(u^{2} + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.4

Fatore $u$ de $u^{2} + u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $u$ de $u^{2}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.4.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.4.3

Fatore $u$ de $u^{1}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.4.4

Fatore $u$ de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{{(u (u + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{t}$ .

$\frac{{(e^{t} (e^{t} + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.6

Aplique a regra do produto a $e^{t} (e^{t} + 1)$ .

$\frac{{(e^{t})}^{2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.7

Multiplique os expoentes em ${(e^{t})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t \cdot 2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 1.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Etapa 2.1.2

Divida ${(e^{t} + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(e^{t} + 1)}^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva ${(e^{t} + 1)}^{2}$ como $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$

Etapa 3

Expanda $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1)$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Etapa 4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $e^{t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.1.2

Some $t$ e $t$ .

$e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.2

Multiplique $e^{t}$ por $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.3

Multiplique $e^{t}$ por $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1$

Etapa 4.2

Some $e^{t}$ e $e^{t}$ .

$e^{2 t} + 2 e^{t} + 1$