Matemática discreta Exemplos

$\frac{6 x}{7 x^{2} - 6 x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 7 \cdot - 16 = - 112$ e cuja soma é $b = - 6$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $- 6$ de $- 6 x$ .

$\frac{6 x}{7 x^{2} - 6 (x) - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $- 6$ como $8$ mais $- 14$

$\frac{6 x}{7 x^{2} + (8 - 14) x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x}{7 x^{2} + 8 x - 14 x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{6 x}{(7 x^{2} + 8 x) - 14 x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{6 x}{x (7 x + 8) - 2 (7 x + 8)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $7 x + 8$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Etapa 1.2

Some $- 15$ e $2$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 13}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7 x^{2} - 13}{7 x^{2} - 13}$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} \cdot \frac{7 x^{2} - 13}{7 x^{2} - 13} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 13}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{5 x}{7 x^{2} - 13}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(7 x + 8) (x - 2)}{(7 x + 8) (x - 2)}$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} \cdot \frac{7 x^{2} - 13}{7 x^{2} - 13} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 13} \cdot \frac{(7 x + 8) (x - 2)}{(7 x + 8) (x - 2)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(7 x + 8) (x - 2) (7 x^{2} - 13)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)}$ por $\frac{7 x^{2} - 13}{7 x^{2} - 13}$ .

$\frac{6 x (7 x^{2} - 13)}{(7 x + 8) (x - 2) (7 x^{2} - 13)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 13} \cdot \frac{(7 x + 8) (x - 2)}{(7 x + 8) (x - 2)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{5 x}{7 x^{2} - 13}$ por $\frac{(7 x + 8) (x - 2)}{(7 x + 8) (x - 2)}$ .

$\frac{6 x (7 x^{2} - 13)}{(7 x + 8) (x - 2) (7 x^{2} - 13)} - \frac{5 x ((7 x + 8) (x - 2))}{(7 x^{2} - 13) ((7 x + 8) (x - 2))}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(7 x + 8) (x - 2) (7 x^{2} - 13)$ .

$\frac{6 x (7 x^{2} - 13)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)} - \frac{5 x ((7 x + 8) (x - 2))}{(7 x^{2} - 13) ((7 x + 8) (x - 2))}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(7 x^{2} - 13) ((7 x + 8) (x - 2))$ .

$\frac{6 x (7 x^{2} - 13)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)} - \frac{5 x ((7 x + 8) (x - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 x (7 x^{2} - 13) - 5 x ((7 x + 8) (x - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Fatore $x$ de $6 x (7 x^{2} - 13) - 5 x ((7 x + 8) (x - 2))$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $x$ de $6 x (7 x^{2} - 13)$ .

$\frac{x (6 (7 x^{2} - 13)) - 5 x ((7 x + 8) (x - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x$ de $- 5 x ((7 x + 8) (x - 2))$ .

$\frac{x (6 (7 x^{2} - 13)) + x (- 5 ((7 x + 8) (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.1.3

Fatore $x$ de $x (6 (7 x^{2} - 13)) + x (- 5 ((7 x + 8) (x - 2)))$ .

$\frac{x (6 (7 x^{2} - 13) - 5 ((7 x + 8) (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (6 (7 x^{2}) + 6 \cdot - 13 - 5 ((7 x + 8) (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.3

Multiplique $7$ por $6$ .

$\frac{x (42 x^{2} + 6 \cdot - 13 - 5 ((7 x + 8) (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.4

Multiplique $6$ por $- 13$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 ((7 x + 8) (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.5

Expanda $(7 x + 8) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x (x - 2) + 8 (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2 + 8 (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 (x \cdot x) + 7 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x^{2} + 7 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x^{2} - 14 x + 8 x + 8 \cdot - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.6.1.3

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x^{2} - 14 x + 8 x - 16))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.6.2

Some $- 14 x$ e $8 x$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x^{2} - 6 x - 16))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x^{2}) - 5 (- 6 x) - 5 \cdot - 16)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.8

Simplifique.

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Etapa 6.8.1

Multiplique $7$ por $- 5$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 35 x^{2} - 5 (- 6 x) - 5 \cdot - 16)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.8.2

Multiplique $- 6$ por $- 5$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 35 x^{2} + 30 x - 5 \cdot - 16)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.8.3

Multiplique $- 5$ por $- 16$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 35 x^{2} + 30 x + 80)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.9

Subtraia $35 x^{2}$ de $42 x^{2}$ .

$\frac{x (7 x^{2} - 78 + 30 x + 80)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Etapa 6.10

Some $- 78$ e $80$ .

$\frac{x (7 x^{2} + 30 x + 2)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$