Matemática discreta Exemplos

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 13 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot 6 = 36$ e cuja soma é $b = 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reordene os termos.

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 6 n^{2} + 13 m n} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Reordene $6 n^{2}$ e $13 m n$ .

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 13 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $13$ de $13 m n$ .

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 13 (m n) + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Reescreva $13$ como $4$ mais $9$

$\frac{3 m}{6 m^{2} + (4 + 9) (m n) + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.1.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 4 (m n) + 9 (m n) + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.1.1.6

Mova os parênteses.

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 4 m n + 9 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{3 m}{(6 m^{2} + 4 m n) + 9 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 m}{2 m (3 m + 2 n) + 3 n (3 m + 2 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 m + 2 n$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ e cuja soma é $b = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Reordene os termos.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 3 n^{2} + 8 m n}$

Etapa 1.2.1.2

Reordene $3 n^{2}$ e $8 m n$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $8$ de $8 m n$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 (m n) + 3 n^{2}}$

Etapa 1.2.1.4

Reescreva $8$ como $2$ mais $6$

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + (2 + 6) (m n) + 3 n^{2}}$

Etapa 1.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 2 (m n) + 6 (m n) + 3 n^{2}}$

Etapa 1.2.1.6

Mova os parênteses.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 2 m n + 6 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{(4 m^{2} + 2 m n) + 6 m n + 3 n^{2}}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{2 m (2 m + n) + 3 n (2 m + n)}$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 m + n$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 m + n}{2 m + n}$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{2 m + n}{2 m + n} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{2 m + n}{2 m + n} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)}$ por $\frac{2 m + n}{2 m + n}$ .

$\frac{3 m (2 m + n)}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$ por $\frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$ .

$\frac{3 m (2 m + n)}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)} + \frac{2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + n) (2 m + 3 n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)$ .

$\frac{3 m (2 m + n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)} + \frac{2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + n) (2 m + 3 n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(2 m + n) (2 m + 3 n) (3 m + 2 n)$ .

$\frac{3 m (2 m + n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)} + \frac{2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 m (2 m + n) + 2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $m$ de $3 m (2 m + n) + 2 m (3 m + 2 n)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $m$ de $3 m (2 m + n)$ .

$\frac{m (3 (2 m + n)) + 2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 6.1.2

Fatore $m$ de $2 m (3 m + 2 n)$ .

$\frac{m (3 (2 m + n)) + m (2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 6.1.3

Fatore $m$ de $m (3 (2 m + n)) + m (2 (3 m + 2 n))$ .

$\frac{m (3 (2 m + n) + 2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{m (3 (2 m) + 3 n + 2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{m (6 m + 3 n + 2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{m (6 m + 3 n + 2 (3 m) + 2 (2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 6.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{m (6 m + 3 n + 6 m + 2 (2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 6.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{m (6 m + 3 n + 6 m + 4 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 6.7

Some $6 m$ e $6 m$ .

$\frac{m (12 m + 3 n + 4 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Etapa 6.8

Some $3 n$ e $4 n$ .

$\frac{m (12 m + 7 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$