Matemática discreta Exemplos

$\frac{3}{x^{2} - x - 20} + \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 5, 4$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3}{(x - 5) (x + 4)} + \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4}$

Etapa 1.2

Fatore $x^{2} + 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3}{(x - 5) (x + 4)} + \frac{2}{(x - 1) (x + 4)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{3}{(x - 5) (x + 4)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{(x - 5) (x + 4)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{(x - 1) (x + 4)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{2}{(x - 1) (x + 4)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{3}{(x - 5) (x + 4)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{(x - 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 5) (x + 4) (x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{3}{(x - 5) (x + 4)}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x - 5) (x + 4) (x - 1)} + \frac{2}{(x - 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{2}{(x - 1) (x + 4)}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x - 5) (x + 4) (x - 1)} + \frac{2 (x - 5)}{(x - 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 5) (x + 4) (x - 1)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)} + \frac{2 (x - 5)}{(x - 1) (x + 4) (x - 5)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(x - 1) (x + 4) (x - 5)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)} + \frac{2 (x - 5)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 (x - 1) + 2 (x - 5)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 1 + 2 (x - 5)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Etapa 6.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x - 3 + 2 (x - 5)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x - 3 + 2 x + 2 \cdot - 5}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Etapa 6.4

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{3 x - 3 + 2 x - 10}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Etapa 6.5

Some $3 x$ e $2 x$ .

$\frac{5 x - 3 - 10}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Etapa 6.6

Subtraia $10$ de $- 3$ .

$\frac{5 x - 13}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$