Matemática discreta Exemplos

$\frac{5}{t} < \frac{9}{2 t + 1}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{9}{2 t + 1}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para escrever $\frac{5}{t}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{9}{2 t + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $t (2 t + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{5}{t}$ por $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{9}{2 t + 1}$ por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{(2 t + 1) t} < 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(2 t + 1) t$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 (2 t + 1) - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (2 t) + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10 t + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{10 t + 5 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Etapa 2.5.4

Subtraia $9 t$ de $10 t$ .

$\frac{t + 5}{t (2 t + 1)} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$t = 0$

$t + 5 = 0$

$2 t + 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$t = - 5$

Etapa 5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 t = - 1$

Etapa 6

Divida cada termo em $2 t = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida cada termo em $2 t = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{1}{2}$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$t = 0$

$t = - 5$

$t = - \frac{1}{2}$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$t = 0, - 5, - \frac{1}{2}$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$t (2 t + 1) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t = 0$

$2 t + 1 = 0$

Etapa 9.2.2

Defina $t$ como igual a $0$ .

$t = 0$

Etapa 9.2.3

Defina $2 t + 1$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Defina $2 t + 1$ como igual a $0$ .

$2 t + 1 = 0$

Etapa 9.2.3.2

Resolva $2 t + 1 = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 t = - 1$

Etapa 9.2.3.2.2

Divida cada termo em $2 t = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 t = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 9.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 9.2.3.2.2.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Etapa 9.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{1}{2}$

Etapa 9.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $t (2 t + 1) = 0$ verdadeiro.

$t = 0, - \frac{1}{2}$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $t$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$t < - 5$

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < t < 0$

$t > 0$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $t < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $t < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$t = - 8$

Etapa 11.1.2

Substitua $t$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{5}{- 8} < \frac{9}{2 (- 8) + 1}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 0.625$ é menor do que o lado direito $- 0.6$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$t = - 3$

Etapa 11.2.2

Substitua $t$ por $- 3$ na desigualdade original.

$\frac{5}{- 3} < \frac{9}{2 (- 3) + 1}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 1.\overline{6}$ não é menor do que o lado direito $- 1.8$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < t < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < t < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$t = - 0.25$

Etapa 11.3.2

Substitua $t$ por $- 0.25$ na desigualdade original.

$\frac{5}{- 0.25} < \frac{9}{2 (- 0.25) + 1}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $- 20$ é menor do que o lado direito $18$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $t > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $t > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$t = 2$

Etapa 11.4.2

Substitua $t$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{5}{2} < \frac{9}{2 (2) + 1}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $2.5$ não é menor do que o lado direito $1.8$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$t < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < t < 0$ Verdadeiro

$t > 0$ Falso

$t < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < t < 0$ Verdadeiro

$t > 0$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$t < - 5$ ou $- \frac{1}{2} < t < 0$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$t < - 5 or - \frac{1}{2} < t < 0$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (- \frac{1}{2}, 0)$

Etapa 14