Matemática discreta Exemplos

$2 y^{2} + (2 k - 3) y - 5 = 0$

Etapa 1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y^{2} + 2 k y - 3 y - 5 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 2 k - 3$ e $c = - 5$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- (2 k - 3) \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 5)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (2 k) + 3 \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.4

Reescreva ${(2 k - 3)}^{2}$ como $(2 k - 3) (2 k - 3)$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{(2 k - 3) (2 k - 3) - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.5

Expanda $(2 k - 3) (2 k - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3) - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3) - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 \cdot (2 k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.1.2

Multiplique $k$ por $k$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.6.1.2.1

Mova $k$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (k \cdot k)) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.1.2.2

Multiplique $k$ por $k$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 \cdot (2 k^{2}) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.1.4

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.1.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.2

Subtraia $6 k$ de $- 6 k$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 9 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 5$ .

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Etapa 4.1.7.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 9 - 8 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.7.2

Multiplique $- 8$ por $- 5$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 9 + 40}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.8

Some $9$ e $40$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{4}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{2 k - 3 - \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{4}$

$y = - \frac{2 k - 3 + \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{4}$