Matemática discreta Exemplos

$8 + \frac{3}{y} > \frac{19}{y}$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$(8 + \frac{3}{y}) y = \frac{19}{y} y$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique $(8 + \frac{3}{y}) y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 y + \frac{3}{y} y = \frac{19}{y} y$

Etapa 2.1.1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$8 y + \frac{3}{y} y = \frac{19}{y} y$

Etapa 2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$8 y + 3 = \frac{19}{y} y$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$8 y + 3 = \frac{19}{y} y$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$8 y + 3 = 19$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$8 y = 19 - 3$

Etapa 3.1.2

Subtraia $3$ de $19$ .

$8 y = 16$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $8 y = 16$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $8 y = 16$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{16}{8}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Divida $16$ por $8$ .

$y = 2$

Etapa 4

Encontre o domínio de $8 - \frac{16}{y}$ .

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{16}{y}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$y = 0$

Etapa 4.2

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$y < 0$

$0 < y < 2$

$y > 2$

Etapa 6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.1

Teste um valor no intervalo $y < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Escolha um valor no intervalo $y < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = - 2$

Etapa 6.1.2

Substitua $y$ por $- 2$ na desigualdade original.

$8 + \frac{3}{- 2} > \frac{19}{- 2}$

Etapa 6.1.3

O lado esquerdo $6.5$ é maior do que o lado direito $- 9.5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.2

Teste um valor no intervalo $0 < y < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < y < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 1$

Etapa 6.2.2

Substitua $y$ por $1$ na desigualdade original.

$8 + \frac{3}{1} > \frac{19}{1}$

Etapa 6.2.3

O lado esquerdo $11$ não é maior do que o lado direito $19$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.3

Teste um valor no intervalo $y > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.3.1

Escolha um valor no intervalo $y > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 4$

Etapa 6.3.2

Substitua $y$ por $4$ na desigualdade original.

$8 + \frac{3}{4} > \frac{19}{4}$

Etapa 6.3.3

O lado esquerdo $8.75$ é maior do que o lado direito $4.75$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$y < 0$ Verdadeiro

$0 < y < 2$ Falso

$y > 2$ Verdadeiro

$y < 0$ Verdadeiro

$0 < y < 2$ Falso

$y > 2$ Verdadeiro

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$y < 0$ ou $y > 2$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$y < 0 or y > 2$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$

Etapa 9