Matemática discreta Exemplos

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

Etapa 1

Como o radical está do lado direito da equação, troque os lados para que ele fique do lado esquerdo da equação.

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10 - x^{2}}$ como ${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique ${(x + 2)}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

Etapa 3.3.1.2

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Etapa 3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Etapa 3.3.1.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 4.2.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

Etapa 4.2.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

Etapa 4.3

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

Etapa 4.4

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

Etapa 4.5

Subtraia $10$ de $4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Etapa 4.6

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.6.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 4 x - 6$ .

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Etapa 4.6.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Etapa 4.6.1.2

Fatore $2$ de $4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Etapa 4.6.1.3

Fatore $2$ de $- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Etapa 4.6.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (2 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Etapa 4.6.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Etapa 4.6.2

Fatore.

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Etapa 4.6.2.1

Fatore $x^{2} + 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 4.6.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 4.6.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Etapa 4.6.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

Etapa 4.7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 4.8

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.8.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.8.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4.9

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.9.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 4.9.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4.10

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x - 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 3$

Etapa 5

Encontre o domínio de $x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

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Etapa 5.1

Defina o radicando em $\sqrt{10 - x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$10 - x^{2} \geq 0$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $10$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} \geq - 10$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 10$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 10$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Divida $- 10$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Etapa 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.4.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Etapa 5.2.5

Escreva $| x | \leq \sqrt{10}$ em partes.

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Etapa 5.2.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 5.2.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq \sqrt{10}$

Etapa 5.2.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 5.2.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Etapa 5.2.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 5.2.6

Encontre a intersecção de $x \leq \sqrt{10}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Etapa 5.2.7

Resolva $- x \leq \sqrt{10}$ quando $x < 0$ .

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Etapa 5.2.7.1

Divida cada termo em $- x \leq \sqrt{10}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.2.7.1.1

Divida cada termo em $- x \leq \sqrt{10}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Etapa 5.2.7.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.7.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Etapa 5.2.7.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Etapa 5.2.7.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.7.1.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Etapa 5.2.7.1.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{10}$ como $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Etapa 5.2.7.2

Encontre a intersecção de $x \geq - \sqrt{10}$ e $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Etapa 5.2.8

Encontre a união das soluções.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Etapa 5.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $x < - \sqrt{10}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \sqrt{10}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $- \sqrt{10} < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \sqrt{10} < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3.08$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $- 3.08$ na desigualdade original.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $- 1.08$ não é maior do que o lado direito $0.71665891$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.3

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 7.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

Etapa 7.3.3

O lado esquerdo $2$ não é maior do que o lado direito $3.16227766$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.4

Teste um valor no intervalo $1 < x < \sqrt{10}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.4.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < \sqrt{10}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 7.4.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

Etapa 7.4.3

O lado esquerdo $4$ é maior do que o lado direito $2.44948974$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.5

Teste um valor no intervalo $x > \sqrt{10}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > \sqrt{10}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 7.5.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

Etapa 7.5.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \sqrt{10}$ Falso

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < \sqrt{10}$ Verdadeiro

$x > \sqrt{10}$ Falso

$x < - \sqrt{10}$ Falso

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < \sqrt{10}$ Verdadeiro

$x > \sqrt{10}$ Falso

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$1 < x < \sqrt{10}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$1 < x < \sqrt{10}$

Notação de intervalo:

$(1, \sqrt{10})$

Etapa 10