Matemática discreta Exemplos

$\frac{x + 1}{x - 1} + 2 > 0$

Etapa 1

Simplifique $\frac{x + 1}{x - 1} + 2$ .

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Etapa 1.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1} > 0$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 1 + 2 (x - 1)}{x - 1} > 0$

Etapa 1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{x - 1} > 0$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x + 1 + 2 x - 2}{x - 1} > 0$

Etapa 1.3.3

Some $x$ e $2 x$ .

$\frac{3 x + 1 - 2}{x - 1} > 0$

Etapa 1.3.4

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{3 x - 1}{x - 1} > 0$

Etapa 2

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 4

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 5

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \frac{1}{3}$

$x = 1$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\frac{x + 1}{x - 1} + 2$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{x + 1}{x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 1 = 0$

Etapa 8.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 1$

$x > 1$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 1} + 2 > 0$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{3} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{3} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.67$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $0.67$ na desigualdade original.

$\frac{(0.67) + 1}{(0.67) - 1} + 2 > 0$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 3.\overline{06}$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) + 1}{(4) - 1} + 2 > 0$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $3.\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{1}{3}$ Verdadeiro

$\frac{1}{3} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < \frac{1}{3}$ Verdadeiro

$\frac{1}{3} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < \frac{1}{3}$ ou $x > 1$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < \frac{1}{3} or x > 1$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, \infty)$

Etapa 13