Matemática discreta Exemplos

$\frac{3}{5 x} + \frac{1}{6 x} > \frac{2}{3}$

Etapa 1

Simplifique $\frac{3}{5 x} + \frac{1}{6 x}$ .

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{3}{5 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3}{5 x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{6 x} > \frac{2}{3}$

Etapa 1.2

Para escrever $\frac{1}{6 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3}{5 x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $30 x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{3}{5 x}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{5 x \cdot 6} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $\frac{1}{6 x}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{5}{6 x \cdot 5} > \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.4

Multiplique $5$ por $6$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \cdot 6 + 5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{18 + 5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Etapa 1.5.2

Some $18$ e $5$ .

$\frac{23}{30 x} > \frac{2}{3}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $30 x$ .

$\frac{23}{30 x} (30 x) = \frac{2}{3} (30 x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Simplifique $\frac{23}{30 x} (30 x)$ .

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Etapa 3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$30 \frac{23}{30 x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Etapa 3.1.1.2

Cancele o fator comum de $30$ .

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Etapa 3.1.1.2.1

Fatore $30$ de $30 x$ .

$30 \frac{23}{30 (x)} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Etapa 3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$30 \frac{23}{30 x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Etapa 3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{23}{x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Etapa 3.1.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{23}{x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Etapa 3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$23 = \frac{2}{3} (30 x)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $\frac{2}{3} (30 x)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Fatore $3$ de $30 x$ .

$23 = \frac{2}{3} (3 (10 x))$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$23 = \frac{2}{3} (3 (10 x))$

Etapa 3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$23 = 2 (10 x)$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $10$ por $2$ .

$23 = 20 x$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $20 x = 23$ .

$20 x = 23$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $20 x = 23$ por $20$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $20 x = 23$ por $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{23}{20}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 x}{20} = \frac{23}{20}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{23}{20}$

Etapa 5

Encontre o domínio de $\frac{23}{30 x} - \frac{2}{3}$ .

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{23}{30 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$30 x = 0$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $30 x = 0$ por $30$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $30 x = 0$ por $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{0}{30}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $30$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{30 x}{30} = \frac{0}{30}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{30}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Divida $0$ por $30$ .

$x = 0$

Etapa 5.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{23}{20}$

$x > \frac{23}{20}$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{3}{5 (- 2)} + \frac{1}{6 (- 2)} > \frac{2}{3}$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $- 0.38\overline{3}$ não é maior do que o lado direito $0.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{23}{20}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{23}{20}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{3}{5 (1)} + \frac{1}{6 (1)} > \frac{2}{3}$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $0.7\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{23}{20}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{23}{20}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 7.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{3}{5 (4)} + \frac{1}{6 (4)} > \frac{2}{3}$

Etapa 7.3.3

O lado esquerdo $0.191\overline{6}$ não é maior do que o lado direito $0.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{23}{20}$ Verdadeiro

$x > \frac{23}{20}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{23}{20}$ Verdadeiro

$x > \frac{23}{20}$ Falso

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < \frac{23}{20}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$0 < x < \frac{23}{20}$

Notação de intervalo:

$(0, \frac{23}{20})$

Etapa 10