Matemática discreta Exemplos

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x^{2} - 7 + 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2

Some $- 7$ e $3$ .

$2 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 4$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 x^{2} = 4$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 4$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $4$ por $2$ .

$x^{2} = 2$

Etapa 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 7

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 8

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 9

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 10

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$x = 2$

$x = - 1$

Etapa 11

Consolide as soluções.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2, - 1$

Etapa 12

Encontre o domínio de $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ .

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Etapa 12.1

Defina o denominador em $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$

Etapa 12.2

Resolva $x$ .

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Etapa 12.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 12.2.2

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.2.2.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 12.2.2.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.2.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 12.2.2.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 12.2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 12.2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 12.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1$

Etapa 12.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 13

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < \sqrt{2}$

$\sqrt{2} < x < 2$

$x > 2$

Etapa 14

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 14.1

Teste um valor no intervalo $x < - \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 14.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} - 7 + 3}{{((- 4) - 2)}^{2} ((- 4) + 1)} < 0$

Etapa 14.1.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{259}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.2

Teste um valor no intervalo $- \sqrt{2} < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \sqrt{2} < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1.21$

Etapa 14.2.2

Substitua $x$ por $- 1.21$ na desigualdade original.

$\frac{2 {(- 1.21)}^{2} - 7 + 3}{{((- 1.21) - 2)}^{2} ((- 1.21) + 1)} < 0$

Etapa 14.2.3

O lado esquerdo $0.49531832$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.3

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 14.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{2 {(0)}^{2} - 7 + 3}{{((0) - 2)}^{2} ((0) + 1)} < 0$

Etapa 14.3.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.4

Teste um valor no intervalo $\sqrt{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.4.1

Escolha um valor no intervalo $\sqrt{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.71$

Etapa 14.4.2

Substitua $x$ por $1.71$ na desigualdade original.

$\frac{2 {(1.71)}^{2} - 7 + 3}{{((1.71) - 2)}^{2} ((1.71) + 1)} < 0$

Etapa 14.4.3

O lado esquerdo $8.10930582$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.5

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 14.5.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{2 {(4)}^{2} - 7 + 3}{{((4) - 2)}^{2} ((4) + 1)} < 0$

Etapa 14.5.3

O lado esquerdo $1.4$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \sqrt{2}$ Verdadeiro

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Verdadeiro

$\sqrt{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Falso

$x < - \sqrt{2}$ Verdadeiro

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Verdadeiro

$\sqrt{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Falso

Etapa 15

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - \sqrt{2}$ ou $- 1 < x < \sqrt{2}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - \sqrt{2} or - 1 < x < \sqrt{2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- 1, \sqrt{2})$

Etapa 17