Matemática discreta Exemplos

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} > - \frac{10}{x - 3}$

Etapa 1

Some $\frac{10}{x - 3}$ aos dois lados da desigualdade.

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3}$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{14}{x \cdot x - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{14}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{10}{x - 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{8}{x} > 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (x - 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{10}{x - 3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{(x - 3) x} - \frac{8}{x} > 0$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $(x - 3) x$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{14 + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Etapa 2.5

Fatore $2$ de $14 + 10 x$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $2$ de $14$ .

$\frac{2 (7) + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Etapa 2.5.2

Fatore $2$ de $10 x$ .

$\frac{2 (7) + 2 (5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Etapa 2.5.3

Fatore $2$ de $2 (7) + 2 (5 x)$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Etapa 2.6

Para escrever $- \frac{8}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} > 0$

Etapa 2.7

Multiplique $\frac{8}{x}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Fatore $2$ de $2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)$ .

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Etapa 2.9.1.1

Fatore $2$ de $- 8 (x - 3)$ .

$\frac{2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Etapa 2.9.1.2

Fatore $2$ de $2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))$ .

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Etapa 2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x - 4 \cdot - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Etapa 2.9.3

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x + 12)}{x (x - 3)} > 0$

Etapa 2.9.4

Some $7$ e $12$ .

$\frac{2 (5 x - 4 x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Etapa 2.9.5

Subtraia $4 x$ de $5 x$ .

$\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x + 19 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 4

Subtraia $19$ dos dois lados da equação.

$x = - 19$

Etapa 5

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - 19$

$x = 3$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = 0, - 19, 3$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x (x - 3) = 0$

Etapa 8.2

Resolva $x$ .

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Etapa 8.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 8.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 8.2.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.2.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 8.2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 8.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 19$

$- 19 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 19$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 19$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 22$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 22$ na desigualdade original.

$\frac{14}{{(- 22)}^{2} - 3 \cdot - 22} - \frac{8}{- 22} > - \frac{10}{(- 22) - 3}$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $0.38\overline{90}$ não é maior do que o lado direito $0.4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 19 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 19 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{14}{{(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2} - \frac{8}{- 2} > - \frac{10}{(- 2) - 3}$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $5.4$ é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{14}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2} - \frac{8}{2} > - \frac{10}{(2) - 3}$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $- 11$ não é maior do que o lado direito $10$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{14}{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6} - \frac{8}{6} > - \frac{10}{(6) - 3}$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{5}$ é maior do que o lado direito $- 3.\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 19$ Falso

$- 19 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 19$ Falso

$- 19 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 19 < x < 0$ ou $x > 3$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 19 < x < 0 or x > 3$

Notação de intervalo:

$(- 19, 0) \cup (3, \infty)$

Etapa 13