Matemática discreta Exemplos

$(\frac{1}{3} x + \frac{1}{5}) (\frac{1}{3} x - \frac{1}{2})$

Etapa 1

Combine frações.

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Etapa 1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{1}{3} x - \frac{1}{2})$

Etapa 1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Etapa 2

Expanda $(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x}{3} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Multiplique $\frac{x}{3}$ por $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x \cdot x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.1.1.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2

Multiplique $\frac{x}{3} (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 3.1.2.1

Multiplique $\frac{x}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{3 \cdot 2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.1.3

Multiplique $\frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3}$ .

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Etapa 3.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{5 \cdot 3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.1.3.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.1.4

Multiplique $\frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 3.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} - \frac{1}{5 \cdot 2}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.2

Para escrever $- \frac{x}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{15} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.3

Para escrever $\frac{x}{15}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $30$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{x}{6}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $\frac{x}{15}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $15$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.6

Para escrever $\frac{x^{2}}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{10}{10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.7

Para escrever $\frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{10}{10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $90$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.8.1

Multiplique $\frac{x^{2}}{9}$ por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{9 \cdot 10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $9$ por $10$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.8.3

Multiplique $\frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{(- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{30 \cdot 3} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.8.4

Multiplique $30$ por $3$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{(- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{90} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} \cdot 10 + (- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{90} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.10

Reordene os termos.

$\frac{10 x^{2} + 3 (- x \cdot 5 + x \cdot 2)}{90} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.11

Combine $\frac{10 x^{2} + 3 (- x \cdot 5 + x \cdot 2)}{90}$ e $- \frac{1}{10}$ usando um denominador comum.

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Etapa 3.11.1

Reordene $x$ e $2$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{1}{10}$

Etapa 3.11.2

Para escrever $- \frac{1}{10}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 3.11.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $90$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.11.3.1

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{9}{10 \cdot 9}$

Etapa 3.11.3.2

Multiplique $10$ por $9$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{9}{90}$

Etapa 3.11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x) - 9}{90}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 5 x + 2 x) - 9}{90}$

Etapa 4.2

Some $- 5 x$ e $2 x$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 3 x) - 9}{90}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{10 x^{2} - 9 x - 9}{90}$

Etapa 4.4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 10 \cdot - 9 = - 90$ e cuja soma é $b = - 9$ .

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Etapa 4.4.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 x$ .

$\frac{10 x^{2} - 9 (x) - 9}{90}$

Etapa 4.4.1.2

Reescreva $- 9$ como $6$ mais $- 15$

$\frac{10 x^{2} + (6 - 15) x - 9}{90}$

Etapa 4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 x^{2} + 6 x - 15 x - 9}{90}$

Etapa 4.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(10 x^{2} + 6 x) - 15 x - 9}{90}$

Etapa 4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 x (5 x + 3) - 3 (5 x + 3)}{90}$

Etapa 4.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x + 3$ .

$\frac{(5 x + 3) (2 x - 3)}{90}$