Matemática discreta Exemplos

$\frac{(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) (x y)}{x + y}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{x}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x}) x y}{x + y}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{y}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}) x y}{x + y}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{x}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x \cdot x}{y x} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}) x y}{x + y}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{x \cdot x}{y x} - \frac{y \cdot y}{x y}) x y}{x + y}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $y x$ .

$\frac{(\frac{x \cdot x}{x y} - \frac{y \cdot y}{x y}) x y}{x + y}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x \cdot x - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Etapa 1.5

Reescreva $\frac{x \cdot x - y \cdot y}{x y}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 1.5.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} x - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Etapa 1.5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} x^{1} - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Etapa 1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{x^{1 + 1} - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Etapa 1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Etapa 1.5.5

Reescreva $y \cdot y$ como $y^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2} - y^{2}}{x y} x y}{x + y}$

Etapa 1.5.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{\frac{(x + y) (x - y)}{x y} x y}{x + y}$

Etapa 1.6

Combine expoentes.

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Etapa 1.6.1

Combine $\frac{(x + y) (x - y)}{x y}$ e $x$ .

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) x}{x y} y}{x + y}$

Etapa 1.6.2

Combine $\frac{(x + y) (x - y) x}{x y}$ e $y$ .

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) x y}{x y}}{x + y}$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) x y}{x y}}{x + y}$

Etapa 1.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) y}{y}}{x + y}$

Etapa 1.8

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) y}{y}}{x + y}$

Etapa 1.8.2

Divida $(x + y) (x - y)$ por $1$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x + y}$

Etapa 1.9

Expanda $(x + y) (x - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - y) + y (x - y)}{x + y}$

Etapa 1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x (- y) + y (x - y)}{x + y}$

Etapa 1.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x (- y) + y x + y (- y)}{x + y}$

Etapa 1.10

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x (- y) + y x + y (- y)$ .

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Etapa 1.10.1

Reorganize os fatores nos termos $x (- y)$ e $y x$ .

$\frac{x \cdot x - x y + x y + y (- y)}{x + y}$

Etapa 1.10.2

Some $- x y$ e $x y$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + y (- y)}{x + y}$

Etapa 1.10.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{x \cdot x + y (- y)}{x + y}$

Etapa 1.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.11.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + y (- y)}{x + y}$

Etapa 1.11.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} - y \cdot y}{x + y}$

Etapa 1.11.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.11.3.1

Mova $y$ .

$\frac{x^{2} - (y \cdot y)}{x + y}$

Etapa 1.11.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$

Etapa 1.12

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x + y}$

Etapa 2

Cancele o fator comum de $x + y$ .

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x + y}$

Etapa 2.2

Divida $x - y$ por $1$ .

$x - y$