Matemática discreta Exemplos

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Etapa 3.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Simplifique $(x - 2) x$ .

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2 x + 1$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

Etapa 3.2.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.3.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x = 1$

Etapa 3.2.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Etapa 3.2.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.2.6

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.7

Simplifique.

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Etapa 3.2.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.7.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.7.1.3

Some $16$ e $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.7.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 3.2.7.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 3.2.7.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Etapa 3.2.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ verdadeira.

$x = 2 + \sqrt{5}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 2 + \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = 4.23606797 \dots$