Matemática discreta Exemplos

$5 \sin (x) + 2 \cos (x) = 5$

Etapa 1

Use a fórmula para resolver a equação. Nesta fórmula, $θ$ representa o ângulo criado ao plotar o ponto $(a, b)$ em um gráfico e, portanto, pode ser encontrado usando $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ em que $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Etapa 2

Estabeleça a equação para encontrar o valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{2}{5})$

Etapa 3

Avalie $\tan^{-1} (\frac{2}{5})$ .

$θ = 0.38050637$

Etapa 4

Resolva para encontrar o valor de $R$ .

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Etapa 4.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(2)}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$R = \sqrt{25 + 4}$

Etapa 4.3

Some $25$ e $4$ .

$R = \sqrt{29}$

Etapa 5

Substitua os valores conhecidos na equação.

$(\sqrt{29}) \sin (x + 0.38050637) = 5$

Etapa 6

Divida cada termo em $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ por $\sqrt{29}$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ por $\sqrt{29}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{29}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $\sin (x + 0.38050637)$ por $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{29}}$ por $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$

Etapa 6.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{29}}$ por $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Etapa 6.3.2.2

Eleve $\sqrt{29}$ à potência de $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} \sqrt{29}}$

Etapa 6.3.2.3

Eleve $\sqrt{29}$ à potência de $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} {\sqrt{29}}^{1}}$

Etapa 6.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

Etapa 6.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{29}}^{2}$ como $29$ .

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Etapa 6.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{29}$ como $29^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{1}}$

Etapa 6.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$

Etapa 7

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x + 0.38050637 = \sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

Avalie $\sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$ .

$x + 0.38050637 = 1.19028994$

Etapa 9

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1

Subtraia $0.38050637$ dos dois lados da equação.

$x = 1.19028994 - 0.38050637$

Etapa 9.2

Subtraia $0.38050637$ de $1.19028994$ .

$x = 0.80978357$

Etapa 10

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x + 0.38050637 = (3.14159265) - 1.19028994$

Etapa 11

Resolva $x$ .

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Etapa 11.1

Subtraia $1.19028994$ de $3.14159265$ .

$x + 0.38050637 = 1.9513027$

Etapa 11.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 11.2.1

Subtraia $0.38050637$ dos dois lados da equação.

$x = 1.9513027 - 0.38050637$

Etapa 11.2.2

Subtraia $0.38050637$ de $1.9513027$ .

$x = 1.57079632$

Etapa 12

Encontre o período de $\sin (x + 0.38050637)$ .

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Etapa 12.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13

O período da função $\sin (x + 0.38050637)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.80978357 + 2 π n, 1.57079632 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$