Matemática discreta Exemplos

$5 \ln (8 x) = 20 - 2 \ln (x)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$5 \ln (8 x) + 2 \ln (x) = 20$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $5 \ln (8 x) + 2 \ln (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Simplifique $5 \ln (8 x)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(8 x)}^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Etapa 2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $8 x$ .

$\ln (8^{5} x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $8$ à potência de $5$ .

$\ln (32768 x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Etapa 2.1.1.4

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (32768 x^{5}) + \ln (x^{2}) = 20$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (32768 x^{5} x^{2}) = 20$

Etapa 2.1.3

Multiplique $x^{5}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.1

Mova $x^{2}$ .

$\ln (32768 (x^{2} x^{5})) = 20$

Etapa 2.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (32768 x^{2 + 5}) = 20$

Etapa 2.1.3.3

Some $2$ e $5$ .

$\ln (32768 x^{7}) = 20$

Etapa 3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (32768 x^{7})} = e^{20}$

Etapa 4

Reescreva $\ln (32768 x^{7}) = 20$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{20} = 32768 x^{7}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $32768 x^{7} = e^{20}$ .

$32768 x^{7} = e^{20}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $32768 x^{7} = e^{20}$ por $32768$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $32768 x^{7} = e^{20}$ por $32768$ .

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $32768$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x^{7}$ por $1$ .

$x^{7} = \frac{e^{20}}{32768}$

Etapa 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$

Etapa 5.4

Simplifique $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ .

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Etapa 5.4.1

Reescreva $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ como $\frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.2.1

Reescreva $e^{20}$ como ${(e^{2})}^{7} e^{6}$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Fatore $e^{14}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{14} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva $e^{14}$ como ${(e^{2})}^{7}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{{(e^{2})}^{7} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Etapa 5.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.3.1

Reescreva $32768$ como $4^{7} \cdot 2$ .

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Etapa 5.4.3.1.1

Fatore $16384$ de $32768$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{16384 (2)}}$

Etapa 5.4.3.1.2

Reescreva $16384$ como $4^{7}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{4^{7} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$

Etapa 5.4.4

Multiplique $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Etapa 5.4.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.5.1

Multiplique $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Etapa 5.4.5.2

Mova $\sqrt[7]{2}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 (\sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Etapa 5.4.5.3

Eleve $\sqrt[7]{2}$ à potência de $1$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 ({\sqrt[7]{2}}^{1} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Etapa 5.4.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{1 + 6}}$

Etapa 5.4.5.5

Some $1$ e $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{7}}$

Etapa 5.4.5.6

Reescreva ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ como $2$ .

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Etapa 5.4.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{2}$ como $2^{\frac{1}{7}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {(2^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

Etapa 5.4.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

Etapa 5.4.5.6.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $7$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Etapa 5.4.5.6.4

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 5.4.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Etapa 5.4.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{1}}$

Etapa 5.4.5.6.5

Avalie o expoente.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.6.1

Reescreva ${\sqrt[7]{2}}^{6}$ como $\sqrt[7]{2^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{2^{6}}}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.4.6.2

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{64}}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.4.6.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.4.7

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Forma decimal:

$x = 3.94254900 \dots$