Matemática discreta Exemplos

$3 x^{2} + 2 x - 8 < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 8 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $2$ como $- 4$ mais $6$

$3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 2) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 4

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3 x - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 x = 4$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 4) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 8 < 0$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $32$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 8 < 0$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $- 8$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 8 < 0$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $48$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Verdadeiro

$x > \frac{4}{3}$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Verdadeiro

$x > \frac{4}{3}$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

Notação de intervalo:

$(- 2, \frac{4}{3})$

Etapa 11