Matemática discreta Exemplos

$35 = \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Etapa 2

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ e cuja soma é $b = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $- 5$ como $- 1$ mais $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Etapa 2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Etapa 2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Etapa 2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 4^{2}} = 35$

Etapa 2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 2.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}} = 35$

Etapa 2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$

Etapa 3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

${(x + 4)}^{2}, 1$

Etapa 3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

${(x + 4)}^{2}$

Etapa 4

Multiplique cada termo em $\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$ por ${(x + 4)}^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.1

Multiplique cada termo em $\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$ por ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} {(x + 4)}^{2} = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de ${(x + 4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} {(x + 4)}^{2} = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$(2 x - 1) (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 4.2.2

Expanda $(2 x - 1) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (x - 2) - 1 (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 4.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 4.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 4.2.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 4.2.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 4.2.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 4.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x - x + 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 4.2.3.2

Subtraia $x$ de $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique $35 {(x + 4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Reescreva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 + 0 + 35 {(x + 4)}^{2}$

Etapa 5.1.2

Reescreva ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 ((x + 4) (x + 4))$

Etapa 5.1.3

Expanda $(x + 4) (x + 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x (x + 4) + 4 (x + 4))$

Etapa 5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))$

Etapa 5.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Etapa 5.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Etapa 5.1.4.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)$

Etapa 5.1.4.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)$

Etapa 5.1.4.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 8 x + 16)$

Etapa 5.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 35 (8 x) + 35 \cdot 16$

Etapa 5.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Multiplique $8$ por $35$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 280 x + 35 \cdot 16$

Etapa 5.1.6.2

Multiplique $35$ por $16$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 280 x + 560$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $35 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 5 x + 2 - 35 x^{2} = 280 x + 560$

Etapa 5.2.2

Subtraia $280 x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 5 x + 2 - 35 x^{2} - 280 x = 560$

Etapa 5.2.3

Subtraia $35 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 33 x^{2} - 5 x + 2 - 280 x = 560$

Etapa 5.2.4

Subtraia $280 x$ de $- 5 x$ .

$- 33 x^{2} - 285 x + 2 = 560$

Etapa 5.3

Subtraia $560$ dos dois lados da equação.

$- 33 x^{2} - 285 x + 2 - 560 = 0$

Etapa 5.4

Subtraia $560$ de $2$ .

$- 33 x^{2} - 285 x - 558 = 0$

Etapa 5.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Fatore $- 3$ de $- 33 x^{2} - 285 x - 558$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Fatore $- 3$ de $- 33 x^{2}$ .

$- 3 (11 x^{2}) - 285 x - 558 = 0$

Etapa 5.5.1.2

Fatore $- 3$ de $- 285 x$ .

$- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x) - 558 = 0$

Etapa 5.5.1.3

Fatore $- 3$ de $- 558$ .

$- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x) - 3 \cdot 186 = 0$

Etapa 5.5.1.4

Fatore $- 3$ de $- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x)$ .

$- 3 (11 x^{2} + 95 x) - 3 \cdot 186 = 0$

Etapa 5.5.1.5

Fatore $- 3$ de $- 3 (11 x^{2} + 95 x) - 3 (186)$ .

$- 3 (11 x^{2} + 95 x + 186) = 0$

Etapa 5.5.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 11 \cdot 186 = 2046$ e cuja soma é $b = 95$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1.1

Fatore $95$ de $95 x$ .

$- 3 (11 x^{2} + 95 (x) + 186) = 0$

Etapa 5.5.2.1.1.2

Reescreva $95$ como $33$ mais $62$

$- 3 (11 x^{2} + (33 + 62) x + 186) = 0$

Etapa 5.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 (11 x^{2} + 33 x + 62 x + 186) = 0$

Etapa 5.5.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- 3 ((11 x^{2} + 33 x) + 62 x + 186) = 0$

Etapa 5.5.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- 3 (11 x (x + 3) + 62 (x + 3)) = 0$

Etapa 5.5.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 3$ .

$- 3 ((x + 3) (11 x + 62)) = 0$

Etapa 5.5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 (x + 3) (11 x + 62) = 0$

Etapa 5.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$11 x + 62 = 0$

Etapa 5.7

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.7.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5.8

Defina $11 x + 62$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Defina $11 x + 62$ como igual a $0$ .

$11 x + 62 = 0$

Etapa 5.8.2

Resolva $11 x + 62 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.1

Subtraia $62$ dos dois lados da equação.

$11 x = - 62$

Etapa 5.8.2.2

Divida cada termo em $11 x = - 62$ por $11$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.2.1

Divida cada termo em $11 x = - 62$ por $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 62}{11}$

Etapa 5.8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 62}{11}$

Etapa 5.8.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 62}{11}$

Etapa 5.8.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{62}{11}$

Etapa 5.9

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 (x + 3) (11 x + 62) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, - \frac{62}{11}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 3, - \frac{62}{11}$

Forma decimal:

$x = - 3, - 5.\overline{63}$

Forma de número misto:

$x = - 3, - 5 \frac{7}{11}$