Matemática discreta Exemplos

$\frac{x - 2}{3} < \frac{5}{x}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{5}{x}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x} < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x - 2}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} < 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{5}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x - 2}{3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{5}{x}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{x \cdot 3} < 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $x \cdot 3$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 2) x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{3 x} < 0$

Etapa 2.5.4

Fatore $x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

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Etapa 2.5.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 5, 3$

Etapa 2.5.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$3 x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x = 0$

Etapa 5

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 5$

$x = - 3$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 0, 5, - 3$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 x = 0$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x = 0$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{(- 6) - 2}{3} < \frac{5}{- 6}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 2.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $- 0.8\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{(- 2) - 2}{3} < \frac{5}{- 2}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 1.\overline{3}$ não é menor do que o lado direito $- 2.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{(2) - 2}{3} < \frac{5}{2}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $2.5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{(8) - 2}{3} < \frac{5}{8}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $2$ não é menor do que o lado direito $0.625$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 3$ ou $0 < x < 5$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 3 or 0 < x < 5$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (0, 5)$

Etapa 14