Matemática discreta Exemplos

${(\frac{3}{4})}^{x} = \frac{64}{27}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x}) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (\frac{3}{4}) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (\frac{3}{4})$ como $\ln (3) - \ln (4)$ .

$x (\ln (3) - \ln (4)) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 2.3

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x (\ln (3) - \ln (2^{2})) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 2.4

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$x (\ln (3) - (2 \ln (2))) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $x (\ln (3) - 2 \ln (2))$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (3) + x (- 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 3.1.2

Reordene os fatores em $x \ln (3) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - \ln (\frac{64}{27}) = 0$

Etapa 5

Some $\ln (\frac{64}{27})$ aos dois lados da equação.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 6

Fatore $x$ de $x \ln (3) - 2 x \ln (2)$ .

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Etapa 6.1

Fatore $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 6.2

Fatore $x$ de $- 2 x \ln (2)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 6.3

Fatore $x$ de $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Etapa 7

Divida cada termo em $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$ por $\ln (3) - 2 \ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$ por $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Forma decimal:

$x = - 3$