Matemática discreta Exemplos

$\frac{x - 3}{x - 6} > 3$

Etapa 1

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x - 3}{x - 6} - 3 > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x - 3}{x - 6} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{x - 3}{x - 6} - 3 \cdot \frac{x - 6}{x - 6} > 0$

Etapa 2.2

Combine $- 3$ e $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{x - 3}{x - 6} + \frac{- 3 (x - 6)}{x - 6} > 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 3 - 3 (x - 6)}{x - 6} > 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 3 - 3 x - 3 \cdot - 6}{x - 6} > 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 3$ por $- 6$ .

$\frac{x - 3 - 3 x + 18}{x - 6} > 0$

Etapa 2.4.3

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$\frac{- 2 x - 3 + 18}{x - 6} > 0$

Etapa 2.4.4

Some $- 3$ e $18$ .

$\frac{- 2 x + 15}{x - 6} > 0$

Etapa 2.5

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 15}{x - 6} > 0$

Etapa 2.6

Reescreva $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (- 15)}{x - 6} > 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 15)$ .

$\frac{- (2 x - 15)}{x - 6} > 0$

Etapa 2.8

Reescreva $- (2 x - 15)$ como $- 1 (2 x - 15)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 15)}{x - 6} > 0$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x - 15}{x - 6} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x - 15 = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 4

Some $15$ aos dois lados da equação.

$2 x = 15$

Etapa 5

Divida cada termo em $2 x = 15$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 x = 15$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{15}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{15}{2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Etapa 6

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \frac{15}{2}$

$x = 6$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = \frac{15}{2}, 6$

Etapa 9

Encontre o domínio de $- \frac{2 x - 15}{x - 6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{2 x - 15}{x - 6}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 6 = 0$

Etapa 9.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 6$

$6 < x < \frac{15}{2}$

$x > \frac{15}{2}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) - 3}{(0) - 6} > 3$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $0.5$ não é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $6 < x < \frac{15}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $6 < x < \frac{15}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 7$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $7$ na desigualdade original.

$\frac{(7) - 3}{(7) - 6} > 3$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $4$ é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{15}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{15}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\frac{(10) - 3}{(10) - 6} > 3$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $1.75$ não é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 6$ Falso

$6 < x < \frac{15}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{15}{2}$ Falso

$x < 6$ Falso

$6 < x < \frac{15}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{15}{2}$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$6 < x < \frac{15}{2}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$6 < x < \frac{15}{2}$

Notação de intervalo:

$(6, \frac{15}{2})$

Etapa 14