Matemática discreta Exemplos

$\frac{x - 2}{x} > 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 2$

Etapa 4

Consolide as soluções.

$x = 0, 2$

Etapa 5

Encontre o domínio de $\frac{x - 2}{x}$ .

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{x - 2}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 5.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{(- 2) - 2}{- 2} > 0$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{(1) - 2}{1} > 0$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $- 1$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 7.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) - 2}{4} > 0$

Etapa 7.3.3

O lado esquerdo $0.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $x > 2$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < 0 or x > 2$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$

Etapa 10