Matemática discreta Exemplos

$1 + \frac{2}{x} < 3$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{2}{x} < 3 - 1$

Etapa 1.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{2}{x} < 2$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{2}{x} x = 2 x$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x} x = 2 x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$2 = 2 x$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $2 x = 2$ .

$2 x = 2$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Divida $2$ por $2$ .

$x = 1$

Etapa 5

Encontre o domínio de $\frac{2}{x} - 2$ .

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{2}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 5.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$1 + \frac{2}{- 2} < 3$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$1 + \frac{2}{0.5} < 3$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $5$ não é menor do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 7.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$1 + \frac{2}{4} < 3$

Etapa 7.3.3

O lado esquerdo $1.5$ é menor do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $x > 1$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < 0 or x > 1$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Etapa 10