Matemática discreta Exemplos

$2 x^{6} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$2 {(x^{3})}^{2} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = x^{3}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{3}$ .

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Etapa 1.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ e cuja soma é $b = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 u$ .

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva $- 5$ como $3$ mais $- 8$

$2 u^{2} + (3 - 8) u - 12 = 0$

Etapa 1.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} + 3 u - 8 u - 12 = 0$

Etapa 1.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 u^{2} + 3 u) - 8 u - 12 = 0$

Etapa 1.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u + 3) - 4 (2 u + 3) = 0$

Etapa 1.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 3$ .

$(2 u + 3) (u - 4) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

$x^{3} - 4 = 0$

Etapa 3

Defina $2 x^{3} + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $2 x^{3} + 3$ como igual a $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $2 x^{3} + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x^{3} = - 3$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $2 x^{3} = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{3} = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{3} = - \frac{3}{2}$

Etapa 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.4

Simplifique $\sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Reescreva $- \frac{3}{2}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.4.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.4.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.4.4

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$

Etapa 3.2.4.5

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Etapa 3.2.4.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.6.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.2.4.6.2

Eleve $\sqrt[3]{2}$ à potência de $1$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 3.2.4.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.2.4.6.4

Some $1$ e $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Etapa 3.2.4.6.5

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.6.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.2.4.6.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.2.4.6.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.2.4.6.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.6.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.2.4.6.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.2.4.6.5.5

Avalie o expoente.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Etapa 3.2.4.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.7.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Etapa 3.2.4.7.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2}$

Etapa 3.2.4.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.8.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2}$

Etapa 3.2.4.8.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}$

Etapa 4

Defina $x^{3} - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x^{3} - 4$ como igual a $0$ .

$x^{3} - 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{3} - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{3} = 4$

Etapa 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{4}$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Forma decimal:

$x = - 1.14471424 \dots, 1.58740105 \dots$