Matemática discreta Exemplos

$\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x - b, x - a, 1$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.5

O fator de $x - b$ é o próprio $x - b$ .

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.6

O fator de $x - a$ é o próprio $x - a$ .

$(x - a) = x - a$

$(x - a)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O MMC de $x - b, x - a$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x - b) (x - a)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ por $(x - b) (x - a)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ por $(x - b) (x - a)$ .

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $x - b$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$a (x - a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a x + a (- a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a x - a \cdot a + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.4.1

Mova $a$ .

$a x - (a \cdot a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.4.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.5

Cancele o fator comum de $x - a$ .

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Etapa 2.2.1.5.1

Fatore $x - a$ de $(x - b) (x - a)$ .

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$a x - a^{2} + b (x - b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$a x - a^{2} + b x + b (- b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a x - a^{2} + b x - b \cdot b = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.8

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.8.1

Mova $b$ .

$a x - a^{2} + b x - (b \cdot b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.2.1.8.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 ((x - b) (x - a))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Expanda $(x - b) (x - a)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x (x - a) - b (x - a))$

Etapa 2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b (x - a))$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b x - b (- a))$

Etapa 2.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} + x (- a) - b x - b (- a))$

Etapa 2.3.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - b (- a))$

Etapa 2.3.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - 1 \cdot - 1 b a)$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + 1 b a)$

Etapa 2.3.2.1.5

Multiplique $b$ por $1$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + b a)$

Etapa 2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} + 2 (- x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) - 2 (b x) + 2 b a$

Etapa 2.3.4

Remova os parênteses.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 x a - 2 b x + 2 b a$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $a$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Some $2 x a$ aos dois lados da equação.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a = 2 x^{2} - 2 b x + 2 b a$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2 b a$ dos dois lados da equação.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Etapa 3.1.3

Some $a x$ e $2 x a$ .

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Etapa 3.1.3.1

Mova $x$ .

$- a^{2} + b x - b^{2} + a x + 2 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Etapa 3.1.3.2

Some $a x$ e $2 a x$ .

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Etapa 3.2

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} = - 2 b x$

Etapa 3.2.1.2

Some $2 b x$ aos dois lados da equação.

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 2 b x = 0$

Etapa 3.2.2

Some $b x$ e $2 b x$ .

$- a^{2} - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 3 b x = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = 3 x - 2 b$ e $c = - b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x$ na fórmula quadrática e resolva $a$ .

$\frac{- (3 x - 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x))}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{- (3 x) - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.4

Reescreva ${(3 x - 2 b)}^{2}$ como $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{(3 x - 2 b) (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.5

Expanda $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x - 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.6.1.2.1

Mova $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 \cdot (- 2 x b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.1.5

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 \cdot (3 b x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.1.7

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b \cdot b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.1.9

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.6.1.9.1

Mova $b$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 (b \cdot b)) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.1.9.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b^{2}) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.1.10

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.2

Subtraia $6 b x$ de $- 6 x b$ .

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Etapa 3.5.1.6.2.1

Mova $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 b x - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.6.2.2

Subtraia $6 b x$ de $- 6 b x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.7

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 (- b^{2}) + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.9

Simplifique.

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Etapa 3.5.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.9.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.9.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 12 (b x)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.10

Subtraia $8 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{- 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 12 b x}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.11

Some $- 12 b x$ e $12 b x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 0}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.12

Some $4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}$ e $0$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.13

Subtraia $4 b^{2}$ de $4 b^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{0 + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.14

Some $0$ e $x^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.1.15

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$ .

$a = \frac{3 x - 2 b \pm x}{2}$

Etapa 3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$