Matemática discreta Exemplos

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Etapa 1

Subtraia $100$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100 > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100$ .

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Etapa 2.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.1.1

Escreva $98.6$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} - 100 > 0$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{98.6}{1}$ por $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Etapa 2.1.3

Multiplique $\frac{98.6}{1}$ por $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Etapa 2.1.4

Escreva $- 100$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} > 0$

Etapa 2.1.5

Multiplique $\frac{- 100}{1}$ por $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.1.6

Multiplique $\frac{- 100}{1}$ por $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 t + 98.6 (t^{2} + 1) - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 \cdot 1 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $98.6$ por $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100 \cdot 1}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 100$ por $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.4

Subtraia $100 t^{2}$ de $98.6 t^{2}$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} + 98.6 - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.5

Subtraia $100$ de $98.6$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Fatore $0.2$ de $5 t - 1.4 t^{2} - 1.4$ .

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Etapa 2.6.1.1

Fatore $0.2$ de $5 t$ .

$\frac{0.2 (25 t) - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.6.1.2

Fatore $0.2$ de $- 1.4 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.6.1.3

Fatore $0.2$ de $- 1.4$ .

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.6.1.4

Fatore $0.2$ de $0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2})$ .

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.6.1.5

Fatore $0.2$ de $0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)$ .

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2} - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$\frac{0.2 (- 7 t^{2} + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- 7 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $25 t$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) - (- 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.9

Fatore $- 1$ de $- (7 t^{2}) - (- 25 t)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.10

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7))}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.11

Fatore $- 1$ de $- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.12

Reescreva $- (7 t^{2} - 25 t + 7)$ como $- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7)$ .

$\frac{0.2 (- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{0.2 (7 t^{2} - 25 t + 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$7 t^{2} - 25 t + 7 = 0$

$t^{2} + 1 = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 7$ , $b = - 25$ e $c = 7$ na fórmula quadrática e resolva $t$ .

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 7)}}{2 \cdot 7}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $- 25$ à potência de $2$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 7 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 7 \cdot 7$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 28 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 28$ por $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 196}}{2 \cdot 7}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $196$ de $625$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 7}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{14}$

Etapa 7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Etapa 8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$t^{2} = - 1$

Etapa 9

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 10

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \pm i$

Etapa 11

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = i$

Etapa 11.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - i$

Etapa 11.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = i, - i$

Etapa 12

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$t = i, - i$

Etapa 13

Consolide as soluções.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Etapa 14

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Etapa 15

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 15.1

Teste um valor no intervalo $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.1.1

Escolha um valor no intervalo $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$t = 0$

Etapa 15.1.2

Substitua $t$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Etapa 15.1.3

O lado esquerdo $98.6$ não é maior do que o lado direito $100$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 15.2

Teste um valor no intervalo $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$t = 2$

Etapa 15.2.2

Substitua $t$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{5 (2)}{{(2)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Etapa 15.2.3

O lado esquerdo $100.6$ é maior do que o lado direito $100$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 15.3

Teste um valor no intervalo $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.3.1

Escolha um valor no intervalo $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$t = 6$

Etapa 15.3.2

Substitua $t$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{5 (6)}{{(6)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Etapa 15.3.3

O lado esquerdo $99.4\overline{108}$ não é maior do que o lado direito $100$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 15.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Falso

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Verdadeiro

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Falso

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Falso

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Verdadeiro

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Falso

Etapa 16

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Notação de intervalo:

$(\frac{25 - \sqrt{429}}{14}, \frac{25 + \sqrt{429}}{14})$

Etapa 18