Matemática discreta Exemplos

$| \frac{x - 1}{2 x + 3} | < 1$

Etapa 1

Escreva $| \frac{x - 1}{2 x + 3} | < 1$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.3

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 1.2.4

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1$

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.6

Consolide as soluções.

$x = 1, - \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.7

Encontre o domínio de $| \frac{x - 1}{2 x + 3} | - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina o denominador em $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x + 3 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 1.2.7.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.2.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.2.7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.2.7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Etapa 1.2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < 1$

$x > 1$

Etapa 1.2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 1.2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{(- 4) - 1}{2 (- 4) + 3} \geq 0$

Etapa 1.2.9.1.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.9.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.2.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} \geq 0$

Etapa 1.2.9.2.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{3}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.2.9.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) - 1}{2 (4) + 3} \geq 0$

Etapa 1.2.9.3.3

O lado esquerdo $0.\overline{27}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 1.2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - \frac{3}{2}$ ou $x \geq 1$

Etapa 1.3

Na parte em que $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$

Etapa 1.4

Encontre o domínio de $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ e a intersecção com $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Encontre o domínio de $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Defina o denominador em $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x + 3 = 0$

Etapa 1.4.1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 1.4.1.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.4.1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.4.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Etapa 1.4.2

Encontre a intersecção de $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ e $(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$ .

$x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$

Etapa 1.5

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} < 0$

Etapa 1.6

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Etapa 1.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.6.3

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 1.6.4

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.6.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.6.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.6.5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1$

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.6.6

Consolide as soluções.

$x = 1, - \frac{3}{2}$

Etapa 1.6.7

Encontre o domínio de $| \frac{x - 1}{2 x + 3} | - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.1

Defina o denominador em $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x + 3 = 0$

Etapa 1.6.7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 1.6.7.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.6.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.6.7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.6.7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.6.7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Etapa 1.6.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < 1$

$x > 1$

Etapa 1.6.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 1.6.9.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{(- 4) - 1}{2 (- 4) + 3} < 0$

Etapa 1.6.9.1.3

O lado esquerdo $1$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.9.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.6.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} < 0$

Etapa 1.6.9.2.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{3}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.6.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.6.9.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) - 1}{2 (4) + 3} < 0$

Etapa 1.6.9.3.3

O lado esquerdo $0.\overline{27}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{3}{2}$ Falso

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - \frac{3}{2}$ Falso

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 1.6.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{3}{2} < x < 1$

Etapa 1.7

Na parte em que $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$

Etapa 1.8

Encontre o domínio de $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ e a intersecção com $- \frac{3}{2} < x < 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Encontre o domínio de $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Defina o denominador em $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x + 3 = 0$

Etapa 1.8.1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 1.8.1.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.8.1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.8.1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.8.1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.8.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Etapa 1.8.2

Encontre a intersecção de $- \frac{3}{2} < x < 1$ e $(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$ .

$- \frac{3}{2} < x < 1$

Etapa 1.9

Escreva em partes.

${\begin{cases} \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1 & x < - \frac{3}{2} or x \geq 1 \\ - \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1 & - \frac{3}{2} < x < 1 \end{cases}$

Etapa 2

Resolva $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ quando $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Resolva $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 < 0$

Etapa 2.1.2

Simplifique $\frac{x - 1}{2 x + 3} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.2

Combine $- 1$ e $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{x - 1}{2 x + 3} + \frac{- (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 1 - (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 3}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x - 1 \cdot 3}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.4.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{x - 1 - 2 x - 3}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.4.4

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 1 - 3}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.4.5

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$\frac{- x - 4}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 4}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.6

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x) - 1 (4)}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x + 4)}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.8

Reescreva $- (x + 4)$ como $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{- 1 (x + 4)}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 4}{2 x + 3} < 0$

Etapa 2.1.3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 4 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Etapa 2.1.4

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.1.5

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 2.1.6

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.1.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.1.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.1.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 4$

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.8

Consolide as soluções.

$x = - 4, - \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.9

Encontre o domínio de $- \frac{x + 4}{2 x + 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.1

Defina o denominador em $\frac{x + 4}{2 x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x + 3 = 0$

Etapa 2.1.9.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 2.1.9.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.1.9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.1.9.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.1.9.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Etapa 2.1.10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < - \frac{3}{2}$

$x > - \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 2.1.11.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{(- 6) - 1}{2 (- 6) + 3} < 1$

Etapa 2.1.11.1.3

O lado esquerdo $0.\overline{7}$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.1.11.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 2.1.11.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$\frac{(- 3) - 1}{2 (- 3) + 3} < 1$

Etapa 2.1.11.2.3

O lado esquerdo $1.\overline{3}$ não é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.1.11.3

Teste um valor no intervalo $x > - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.1.11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} < 1$

Etapa 2.1.11.3.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{3}$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.1.11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < - \frac{3}{2}$ Falso

$x > - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < - \frac{3}{2}$ Falso

$x > - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

Etapa 2.1.12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 4$ ou $x > - \frac{3}{2}$

Etapa 2.2

Encontre a intersecção de $x < - 4 or x > - \frac{3}{2}$ e $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ .

$x < - 4$ ou $x \geq 1$

Etapa 3

Resolva $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ quando $- \frac{3}{2} < x < 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 < 0$

Etapa 3.1.2

Simplifique $- \frac{x - 1}{2 x + 3} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} < 0$

Etapa 3.1.2.2

Combine $- 1$ e $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} + \frac{- (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Etapa 3.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- (x - 1) - (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Etapa 3.1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Fatore $- 1$ de $- (x - 1) - (2 x + 3)$ .

$\frac{- (x - 1 + 2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Etapa 3.1.2.4.2

Some $x$ e $2 x$ .

$\frac{- (3 x - 1 + 3)}{2 x + 3} < 0$

Etapa 3.1.2.4.3

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{- (3 x + 2)}{2 x + 3} < 0$

Etapa 3.1.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x + 2}{2 x + 3} < 0$

Etapa 3.1.3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$3 x + 2 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Etapa 3.1.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 3.1.5

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.1.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.1.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.1.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 3.1.6

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 3.1.7

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.1.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.1.7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.1.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{2}{3}$

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.9

Consolide as soluções.

$x = - \frac{2}{3}, - \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.10

Encontre o domínio de $- \frac{3 x + 2}{2 x + 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.1

Defina o denominador em $\frac{3 x + 2}{2 x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x + 3 = 0$

Etapa 3.1.10.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 3.1.10.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.1.10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.1.10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.1.10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Etapa 3.1.11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Etapa 3.1.12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 3.1.12.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 3.1.12.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$- \frac{(- 4) - 1}{2 (- 4) + 3} < 1$

Etapa 3.1.12.1.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.1.12.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 3.1.12.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$- \frac{(- 1) - 1}{2 (- 1) + 3} < 1$

Etapa 3.1.12.2.3

O lado esquerdo $2$ não é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.1.12.3

Teste um valor no intervalo $x > - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.12.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 3.1.12.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- \frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} < 1$

Etapa 3.1.12.3.3

O lado esquerdo $0.\overline{3}$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.1.12.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falso

$x > - \frac{2}{3}$ Verdadeiro

$x < - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falso

$x > - \frac{2}{3}$ Verdadeiro

Etapa 3.1.13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - \frac{3}{2}$ ou $x > - \frac{2}{3}$

Etapa 3.2

Encontre a intersecção de $x < - \frac{3}{2} or x > - \frac{2}{3}$ e $- \frac{3}{2} < x < 1$ .

$- \frac{2}{3} < x < 1$

Etapa 4

Encontre a união das soluções.

$x < - 4$ ou $x > - \frac{2}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 4 or x > - \frac{2}{3}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Etapa 6