Matemática discreta Exemplos

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 5}{x^{2} + 6} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{4} - x^{2} - 5 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Etapa 2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - u - 5 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = - 5$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Etapa 5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3

Some $1$ e $20$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Etapa 6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 2.79128784$

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 2.79128784$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2.79128784}$

Etapa 9.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2.79128784}$

Etapa 9.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2.79128784}$

Etapa 9.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Etapa 11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = - 1.79128784$

Etapa 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.79128784}$

Etapa 11.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 1.79128784}$ .

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Etapa 11.3.1

Reescreva $- 1.79128784$ como $- 1 (1.79128784)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.79128784)}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (1.79128784)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$

Etapa 11.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.79128784}$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{1.79128784}$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{1.79128784}$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Etapa 12

A solução para $x^{4} - x^{2} - 5 = 0$ é $x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Etapa 13

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 6$

Etapa 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Etapa 15

Simplifique $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Etapa 15.1

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Etapa 15.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (6)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Etapa 15.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Etapa 16

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 16.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{6}$

Etapa 16.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{6}$

Etapa 16.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Etapa 17

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Etapa 18

Consolide as soluções.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Etapa 19

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \sqrt{2.79128784}$

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$

$x > \sqrt{2.79128784}$

Etapa 20

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 20.1

Teste um valor no intervalo $x < - \sqrt{2.79128784}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 20.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \sqrt{2.79128784}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 20.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$- \frac{{(- 4)}^{4} - {(- 4)}^{2} - 5}{{(- 4)}^{2} + 6} < 0$

Etapa 20.1.3

O lado esquerdo $- 10.6\overline{81}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 20.2

Teste um valor no intervalo $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 20.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 20.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- \frac{{(0)}^{4} - {(0)}^{2} - 5}{{(0)}^{2} + 6} < 0$

Etapa 20.2.3

O lado esquerdo $0.8\overline{3}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 20.3

Teste um valor no intervalo $x > \sqrt{2.79128784}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 20.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \sqrt{2.79128784}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 20.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$- \frac{{(4)}^{4} - {(4)}^{2} - 5}{{(4)}^{2} + 6} < 0$

Etapa 20.3.3

O lado esquerdo $- 10.6\overline{81}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 20.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Verdadeiro

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Falso

$x > \sqrt{2.79128784}$ Verdadeiro

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Verdadeiro

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Falso

$x > \sqrt{2.79128784}$ Verdadeiro

Etapa 21

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ ou $x > \sqrt{2.79128784}$

Etapa 22

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - \sqrt{2.79128784} or x > \sqrt{2.79128784}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \sqrt{2.79128784}) \cup (\sqrt{2.79128784}, \infty)$

Etapa 23