Matemática discreta Exemplos

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} > 1$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Etapa 2.2

Combine $- 1$ e $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} + \frac{- (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (x) - (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Etapa 2.4.3

Subtraia $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$\frac{0 - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Etapa 2.4.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Etapa 2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\sin (x) + 1} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 7

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 8

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 8.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 8.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 9

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 10.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 10.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 10.3

Combine frações.

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Etapa 10.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 10.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 10.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 10.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 10.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 11

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Encontre o domínio de $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

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Etapa 13.1

Defina o denominador em $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $x$ .

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Etapa 13.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 13.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 13.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 13.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 13.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 13.2.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 13.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 13.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 13.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.2.7

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 13.2.7.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 13.2.7.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 13.2.7.3

Combine frações.

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Etapa 13.2.7.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 13.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 13.2.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.7.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 13.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 13.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 13.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13.2.9

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq \frac{3 π}{2} + 2 π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Etapa 15

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 15.1

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 15.1.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{\sin (8)}{\sin (8) + 1} > 1$

Etapa 15.1.3

O lado esquerdo $0.49732533$ não é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 15.2

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Falso

Etapa 16

Como não há números que se enquadram no intervalo, essa desigualdade não tem solução.

Nenhuma solução