Matemática discreta Exemplos

$\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 1) (x + 119)) = 4$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 1) (x + 119)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x (x + 119) - 1 (x + 119)) = 4$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 (x + 119)) = 4$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Etapa 1.3.1.2

Mova $119$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 1 \cdot 119) = 4$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $119$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 119) = 4$

Etapa 1.3.2

Subtraia $x$ de $119 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$

Etapa 2

Reescreva $\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{4} = x^{2} + 118 x - 119$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$ .

$x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$

Etapa 3.2

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$x^{2} + 118 x - 119 = 625$

Etapa 3.3

Subtraia $625$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 118 x - 119 - 625 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $625$ de $- 119$ .

$x^{2} + 118 x - 744 = 0$

Etapa 3.5

Fatore $x^{2} + 118 x - 744$ usando o método AC.

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Etapa 3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 744$ e cuja soma é $118$ .

$- 6, 124$

Etapa 3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 6) (x + 124) = 0$

Etapa 3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 124 = 0$

Etapa 3.7

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.7.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 3.8

Defina $x + 124$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.8.1

Defina $x + 124$ como igual a $0$ .

$x + 124 = 0$

Etapa 3.8.2

Subtraia $124$ dos dois lados da equação.

$x = - 124$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (x + 124) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 124$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$ verdadeira.

$x = 6$