Matemática discreta Exemplos

$\log (x^{2} - 1) - \log (x - 1) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = 1$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}) = 1$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

Etapa 1.3.2

Divida $x + 1$ por $1$ .

$\log (x + 1) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log (x + 1) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x + 1$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x + 1 = 10^{1}$ .

$x + 1 = 10$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = 10 - 1$

Etapa 3.2.2

Subtraia $1$ de $10$ .

$x = 9$