Matemática discreta Exemplos

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec (x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 1.1.1

Para escrever $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec (x)$

Etapa 1.1.2

Para escrever $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} = \sec (x)$

Etapa 1.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.1.3.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} = \sec (x)$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.3.3

Reordene os fatores de $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.5.1

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 1.1.5.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.4

Multiplique $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 1.1.5.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.4.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.4.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.5

Reescreva $\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)$ em uma forma fatorada.

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Etapa 1.1.5.5.1

Reorganize os termos.

$\frac{- \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.5.2

Reorganize os termos.

$\frac{- \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.5.5.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $- \sin (x) + 1$ e $1 - \sin (x)$ .

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Etapa 1.1.6.1

Reordene os termos.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Etapa 1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sec (x)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$1 = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$1 = 1$

Etapa 6

Como $1 = 1$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $x$ .

Todos os números reais

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$