Matemática discreta Exemplos

$4 x^{2} + 4 x - 1 > 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 4$ , $b = 4$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3

Some $16$ e $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

Consolide as soluções.

$x = - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$4 {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 1 > 0$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $47$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$4 {(0)}^{2} + 4 (0) - 1 > 0$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $- 1$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.3

Teste um valor no intervalo $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 7.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$4 {(3)}^{2} + 4 (3) - 1 > 0$

Etapa 7.3.3

O lado esquerdo $47$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Falso

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Verdadeiro

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Falso

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Verdadeiro

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ ou $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2} or x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, \infty)$

Etapa 10