Matemática discreta Exemplos

$4^{x} + 7 \cdot 2^{x} = 44$

Etapa 1

Subtraia $44$ dos dois lados da equação.

$4^{x} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $4^{x}$ como ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

Etapa 2.2

Reescreva ${(2^{2})}^{x}$ como ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

Etapa 2.3

Deixe $u = 2^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $2^{x}$ .

$u^{2} + 7 u - 44 = 0$

Etapa 2.4

Fatore $u^{2} + 7 u - 44$ usando o método AC.

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Etapa 2.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 44$ e cuja soma é $7$ .

$- 4, 11$

Etapa 2.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 4) (u + 11) = 0$

Etapa 2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2^{x}$ .

$(2^{x} - 4) (2^{x} + 11) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

$2^{x} + 11 = 0$

Etapa 4

Defina $2^{x} - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $2^{x} - 4$ como igual a $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2^{x} - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$2^{x} = 4$

Etapa 4.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{2}$

Etapa 4.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 2$

Etapa 5

Defina $2^{x} + 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $2^{x} + 11$ como igual a $0$ .

$2^{x} + 11 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2^{x} + 11 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$2^{x} = - 11$

Etapa 5.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 11)$

Etapa 5.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 11)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.2.4

Não há uma solução para $2^{x} = - 11$

Nenhuma solução

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(2^{x} - 4) (2^{x} + 11) = 0$ verdadeiro.

$x = 2$