Matemática discreta Exemplos

$\frac{2 x + 3}{3 x - 7} > 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x + 3 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Etapa 2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 4

Some $7$ aos dois lados da equação.

$3 x = 7$

Etapa 5

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{7}{3}$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 x - 7 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $x$ .

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Etapa 8.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$3 x = 7$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 8.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$

$x > \frac{7}{3}$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 4) + 3}{3 (- 4) - 7} > 0$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $0.26315789$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{2 (0) + 3}{3 (0) - 7} > 0$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{428571}$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{7}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{7}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\frac{2 (5) + 3}{3 (5) - 7} > 0$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $1.625$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ Falso

$x > \frac{7}{3}$ Verdadeiro

$x < - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ Falso

$x > \frac{7}{3}$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - \frac{3}{2}$ ou $x > \frac{7}{3}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - \frac{3}{2} or x > \frac{7}{3}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Etapa 13