Matemática discreta Exemplos

$y = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x} - \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x$ de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + 3 x = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $x$ de $3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 3 = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ .

$x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3 = 0$

Etapa 2.2.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3$ .

$x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} + 3 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} + 3 x + 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.3

Subtraia $12$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.3

Subtraia $12$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2.4.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.5.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.5.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.3

Subtraia $12$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2.5.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.5.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.5.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \geq 0$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 4

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, 0]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y = 0}$

Etapa 5

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[0, \infty), {x | x \geq 0}$

Intervalo: $[0, 0], {y | y = 0}$

Etapa 6