Matemática discreta Exemplos

\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

Etapa 1

Reescreva a equação como

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva

9

$9$ como

3^{2}

$3^{2}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que

a = x

$a = x$ e

b = 3

$b = 3$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 3

Defina o radicando em

\sqrt{4 - x}

$\sqrt{4 - x}$ como maior do que ou igual a

0

$0$ para encontrar onde a expressão está definida.

4 - x \geq 0

$4 - x \geq 0$

Etapa 4

Resolva

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia

4

$4$ dos dois lados da desigualdade.

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$

Etapa 4.2

Divida cada termo em

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ por

- 1

$- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Divida cada termo em

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ por

- 1

$- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.2.2.2

Divida

x

$x$ por

1

$1$ .

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Divida

$- 4$ por

$- 1$ .

$x \leq 4$

Etapa 5

Defina o radicando em

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ como maior do que ou igual a

$0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Etapa 6

Resolva

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Defina

$x + 3$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Defina

$x + 3$ como igual a

$0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 6.2.2

Subtraia

$3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6.3

Defina

$x - 3$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Defina

$x - 3$ como igual a

$0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.3.2

Some

$3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6.4

A solução final são todos os valores que tornam

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3$

Etapa 6.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 6.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Teste um valor no intervalo

$x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Escolha um valor no intervalo

$x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 6.6.1.2

Substitua

$x$ por

$- 6$ na desigualdade original.

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Etapa 6.6.1.3

O lado esquerdo

$27$ é maior do que o lado direito

$0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.6.2

Teste um valor no intervalo

$- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Escolha um valor no intervalo

$- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.6.2.2

Substitua

$x$ por

$0$ na desigualdade original.

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Etapa 6.6.2.3

O lado esquerdo

$- 9$ é menor do que o lado direito

$0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.6.3

Teste um valor no intervalo

$x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1

Escolha um valor no intervalo

$x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 6.6.3.2

Substitua

$x$ por

$6$ na desigualdade original.

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Etapa 6.6.3.3

O lado esquerdo

$27$ é maior do que o lado direito

$0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 6.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou

$x \geq 3$

$x \leq - 3$ ou

$x \geq 3$

Etapa 7

O domínio consiste em todos os valores de

$x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

Etapa 8

O intervalo é o conjunto de todos os valores

$y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Nenhuma solução

Etapa 9

Determine o domínio e o intervalo.

Nenhuma solução

Etapa 10