Matemática discreta Exemplos

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

Etapa 1

Reescreva a equação como $y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{4 - x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$4 - x \geq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $4$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 4$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $- x \geq - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x \leq 4$

Etapa 5

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 6.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 3) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3$

Etapa 6.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 6.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 6.6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Etapa 6.6.1.3

O lado esquerdo $27$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.6.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Etapa 6.6.2.3

O lado esquerdo $- 9$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 6.6.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Etapa 6.6.3.3

O lado esquerdo $27$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 6.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $x \geq 3$

Etapa 7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

Etapa 8

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Nenhuma solução

Etapa 9

Determine o domínio e o intervalo.

Nenhuma solução

Etapa 10