Matemática discreta Exemplos

$y = \sqrt{12 + x - x^{2}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{12 + x - x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$12 + x - x^{2} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$12 + x - x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $- 1$ de $12 + x - x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Reordene a expressão.

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Etapa 2.2.1.1.1

Mova $12$ .

$x - x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.2.1.1.2

Reordene $x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Reescreva $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Etapa 2.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 4) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 3$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$12 - 6 - {(- 6)}^{2} \geq 0$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $- 30$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$12 + 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Etapa 2.8.2.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.8.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$12 + 6 - {(6)}^{2} \geq 0$

Etapa 2.8.3.3

O lado esquerdo $- 18$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 \leq x \leq 4$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 3, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 3 \leq x \leq 4}$

Etapa 4

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \frac{7}{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

Etapa 5

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- 3, 4], {x | - 3 \leq x \leq 4}$

Intervalo: $[0, \frac{7}{2}], {y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

Etapa 6