Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$8 x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $2$ de $8 x^{2} - 2 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $2$ de $8 x^{2}$ .

$2 (4 x^{2}) - 2 x + 8 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 8 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (4) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $2$ de $2 (4 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (4 x^{2} - x) + 2 (4) = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $2$ de $2 (4 x^{2} - x) + 2 (4)$ .

$2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $4 x^{2} - x + 4$ por $1$ .

$4 x^{2} - x + 4 = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$4 x^{2} - x + 4 = 0$

Etapa 2.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 1$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 4)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.3

Subtraia $64$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.4

Reescreva $- 63$ como $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (63)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.7

Reescreva $63$ como $3^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.7.1

Fatore $9$ de $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.6.1.3

Subtraia $64$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.6.1.4

Reescreva $- 63$ como $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (63)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.6.1.7

Reescreva $63$ como $3^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.7.1

Fatore $9$ de $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.6.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.6.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 2.6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.1.3

Subtraia $64$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.1.4

Reescreva $- 63$ como $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (63)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.1.7

Reescreva $63$ como $3^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.7.1

Fatore $9$ de $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 2.7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 2.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}, \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

Etapa 5

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Intervalo: $[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}], {y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

Etapa 6