Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} - 2 x - 8}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 2}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 2 \geq 0$

Etapa 2

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 2$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} - 2 x - 8}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 8$ usando o método AC.

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Etapa 4.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 4.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Etapa 4.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 4.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 4.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 4.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 2$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- 2, 4) \cup (4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > - 2, x \neq 4}$

Etapa 6

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{8}] \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \leq - \frac{\sqrt{2}}{8}, y > 0}$

Etapa 7

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- 2, 4) \cup (4, \infty), {x | x > - 2, x \neq 4}$

Intervalo: $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{8}] \cup (0, \infty), {y | y \leq - \frac{\sqrt{2}}{8}, y > 0}$

Etapa 8