Matemática discreta Exemplos

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 73 = 0$

Etapa 1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = x^{2} + 4 x - 73$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $x^{2} + 4 x - 73$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3

Subtraia $73$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.4

Fatore $x^{2} + 4 x - 77$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 77$ e cuja soma é $4$ .

$- 7, 11$

Etapa 3.1.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.5

Reescreva $- 4 (x - 7) (x + 11)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.5.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.5.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Etapa 4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

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Etapa 4.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $x^{2} + 4 x - 73$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $73$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Fatore $x^{2} + 4 x - 77$ usando o método AC.

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Etapa 4.1.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 77$ e cuja soma é $4$ .

$- 7, 11$

Etapa 4.1.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $- 4 (x - 7) (x + 11)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

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Etapa 4.1.5.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Etapa 4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Etapa 5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $x^{2} + 4 x - 73$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3

Subtraia $73$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4

Fatore $x^{2} + 4 x - 77$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 77$ e cuja soma é $4$ .

$- 7, 11$

Etapa 5.1.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5

Reescreva $- 4 (x - 7) (x + 11)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

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Etapa 5.1.5.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Etapa 5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Etapa 6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 11 = 0$

Etapa 8.2

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 8.2.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 8.3

Defina $x + 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.3.1

Defina $x + 11$ como igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Etapa 8.3.2

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$x = - 11$

Etapa 8.4

A solução final são todos os valores que tornam $- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 7, - 11$

Etapa 8.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 11$

$- 11 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 8.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 11$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 11$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 14$

Etapa 8.6.1.2

Substitua $x$ por $- 14$ na desigualdade original.

$- 1 ((- 14) - 7) ((- 14) + 11) \geq 0$

Etapa 8.6.1.3

O lado esquerdo $- 63$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.2

Teste um valor no intervalo $- 11 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 11 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- 1 ((0) - 7) ((0) + 11) \geq 0$

Etapa 8.6.2.3

O lado esquerdo $77$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 8.6.3.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$- 1 ((10) - 7) ((10) + 11) \geq 0$

Etapa 8.6.3.3

O lado esquerdo $- 63$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 11$ Falso

$- 11 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

$x < - 11$ Falso

$- 11 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

Etapa 8.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 11 \leq x \leq 7$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 11, 7]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 11 \leq x \leq 7}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 7, 11]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - 7 \leq y \leq 11}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- 11, 7], {x | - 11 \leq x \leq 7}$

Intervalo: $[- 7, 11], {y | - 7 \leq y \leq 11}$

Etapa 12