Matemática discreta Exemplos

$\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x^{2}}{48}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{48}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Etapa 3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique $64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $64$ por $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{48}$ para o numerador.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{48}$

Etapa 3.2.1.3.2

Fatore $16$ de $64$ .

$y^{2} = 64 + 16 (4) \frac{- x^{2}}{48}$

Etapa 3.2.1.3.3

Fatore $16$ de $48$ .

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Etapa 3.2.1.3.4

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Etapa 3.2.1.3.5

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 64 + 4 \frac{- x^{2}}{3}$

Etapa 3.2.1.4

Combine $4$ e $\frac{- x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{4 (- x^{2})}{3}$

Etapa 3.2.1.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Etapa 3.2.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = 64 - \frac{4 x^{2}}{3}$

Etapa 4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$ .

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Etapa 5.1

Para escrever $64$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Combine $64$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Etapa 5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3 - 4 x^{2}}{3}}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Fatore $4$ de $64 \cdot 3 - 4 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Fatore $4$ de $64 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) - 4 x^{2}}{3}}$

Etapa 5.3.1.2

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})}{3}}$

Etapa 5.3.1.3

Fatore $4$ de $4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3 - x^{2})}{3}}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $16$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$

Etapa 5.4

Reescreva $\sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2^{2} (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.6

Multiplique $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.7.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 5.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 5.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.7.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 5.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 5.7.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.8

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{3 (48 - x^{2})}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$3 (48 - x^{2}) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Divida cada termo em $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Etapa 8.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Etapa 8.1.2.1.2

Divida $48 - x^{2}$ por $1$ .

$48 - x^{2} \geq \frac{0}{3}$

Etapa 8.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$48 - x^{2} \geq 0$

Etapa 8.2

Subtraia $48$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} \geq - 48$

Etapa 8.3

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 48$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 48$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Divida $- 48$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 48$

Etapa 8.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{48}$

Etapa 8.5

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{48}$

Etapa 8.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1

Simplifique $\sqrt{48}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1.1

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1.1.1

Fatore $16$ de $48$ .

$| x | \leq \sqrt{16 (3)}$

Etapa 8.5.2.1.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Etapa 8.5.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq | 4 | \sqrt{3}$

Etapa 8.5.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$| x | \leq 4 \sqrt{3}$

Etapa 8.6

Escreva $| x | \leq 4 \sqrt{3}$ em partes.

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Etapa 8.6.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 8.6.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq 4 \sqrt{3}$

Etapa 8.6.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 8.6.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq 4 \sqrt{3}$

Etapa 8.6.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq 4 \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq 4 \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 8.7

Encontre a intersecção de $x \leq 4 \sqrt{3}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Etapa 8.8

Resolva $- x \leq 4 \sqrt{3}$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1

Divida cada termo em $- x \leq 4 \sqrt{3}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1.1

Divida cada termo em $- x \leq 4 \sqrt{3}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 8.8.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 8.8.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 8.8.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (4 \sqrt{3})$

Etapa 8.8.1.3.2

Reescreva $- 1 \cdot (4 \sqrt{3})$ como $- (4 \sqrt{3})$ .

$x \geq - (4 \sqrt{3})$

Etapa 8.8.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x \geq - 4 \sqrt{3}$

Etapa 8.8.2

Encontre a intersecção de $x \geq - 4 \sqrt{3}$ e $x < 0$ .

$- 4 \sqrt{3} \leq x < 0$

Etapa 8.9

Encontre a união das soluções.

$- 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 8, 8]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}], {x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Intervalo: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Etapa 12