Matemática discreta Exemplos

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x^{2}}{4}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $- 9$ .

$- 9 (- \frac{y^{2}}{9}) = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Etapa 3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Simplifique $- 9 (- \frac{y^{2}}{9})$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 3.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y^{2}}{9}$ para o numerador.

$- 9 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Etapa 3.1.1.1.2

Fatore $9$ de $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Etapa 3.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$9 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Etapa 3.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Etapa 3.1.1.2

Multiplique.

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Etapa 3.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Etapa 3.1.1.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $- 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = - 9 \cdot 1 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$y^{2} = - 9 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 9 (- \frac{x^{2}}{4})$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$y^{2} = - 9 + 9 \frac{x^{2}}{4}$

Etapa 3.2.1.3.2

Combine $9$ e $\frac{x^{2}}{4}$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4}$

Etapa 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{4}}$

Etapa 5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.3

Reescreva $\frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 3^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Reordene $- 3^{2}$ e ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3 x}{2})}^{2} - 3^{2}}$

Etapa 5.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{3 x}{2}$ e $b = 3$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Fatore $3$ de $\frac{3 x}{2} + 3$ .

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Etapa 5.6.1.1

Fatore $3$ de $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Etapa 5.6.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3 (1)) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Etapa 5.6.1.3

Fatore $3$ de $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Etapa 5.6.2

Fatore $3$ de $\frac{3 x}{2} - 3$ .

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Etapa 5.6.2.1

Fatore $3$ de $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} - 3)}$

Etapa 5.6.2.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} + 3 (- 1))}$

Etapa 5.6.2.3

Fatore $3$ de $3 \frac{x}{2} + 3 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 (\frac{x}{2} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) \cdot 3 (\frac{x}{2} - 1)}$

Etapa 5.6.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}$

Etapa 5.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}$

Etapa 5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}$

Etapa 5.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

Etapa 5.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

Etapa 5.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 5.12

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 2}{2}}$

Etapa 5.13

Combine expoentes.

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Etapa 5.13.1

Combine $9$ e $\frac{x + 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2)}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}$

Etapa 5.13.2

Multiplique $\frac{9 (x + 2)}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}$

Etapa 5.13.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}}$

Etapa 5.14

Reescreva $\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Etapa 5.14.1

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9 (x + 2) (x - 2)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}$

Etapa 5.14.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}$

Etapa 5.14.3

Reorganize a fração $\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Etapa 5.15

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 5.16

Combine $\frac{3}{2}$ e $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 8.2

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 8.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 8.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 8.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 8.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 8.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 8.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 8.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Etapa 8.6.1.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.6.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Etapa 8.6.2.3

O lado esquerdo $- 4$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 8.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Etapa 8.6.3.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 8.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 2$ ou $x \geq 2$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, - 2] \cup [2, \infty), {x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Intervalo: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Etapa 12